Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

8.3.4 Integration bzgl. durch Dichten definierte Wahrscheinlichkeitsmaße
Schon kennengelernt: die Angabe von Wahrscheinlichkeitsmaßen durch Dichten:
Seien (Ω, A) und µ gegeben, sei f : Ω → R meßbar, f ≥ 0 mit ∫ f dµ = 1.
Dann definiert P (A) = ∫ f dµ ein Wahrscheinlichkeitsmaß. f heißt auch
A
µ-Dichte von P (f = dP ). Dabei gilt für eine Zufallsgröße X (regulär bezüglich
dµ
P ):
∫ ∫
X dP = X · f dµ
Beweis:
(a) Für X = 1 A steht auf der linken Seite ∫ 1 A dP = P (A), auf der rechten
Seite ∫ 1 A f dµ = ∫ f dµ = P (A).
A
(b) Für X = ∑ n
i=1 α i1 Ai ist die linke Seite
∫
∫
X dP =
n∑
α i 1 Ai dP =
i=1
n∑
α i P (A i )
i=1
Die rechte Seite ergibt:
∫
∫ ( )
n∑
Xf dP = α i 1 Ai f dµ =
i=1
n∑
∫
α i
i=1
1 Ai f dµ =
n∑
α i P (A i )
i=1
(c) Für X ≥ 0: Es existiert eine Folge (X n ) n∈N
gemäß (c) mit 0 ≤ X n ↑ X.
Es gilt:
∫
∫
∫
∫
∫
= X dP = lim X n dP = lim X n f dµ = lim (X
n→∞ n→∞
nf) dµ = Xf dµ
n→∞
8.3.5 Integration bzgl. der Verteilung von Zufallsvariablen
Sei Ω mit Wahrscheinlichkeitsmaß P gegeben, X : Ω → X und g : X → R.
Dann ist
∫
∫
Eg(X) = g(X) dP = g dP X
Beachte:
Beweis:
Erwartungswertbildung ist Integration bezüglich des zugrundeliegenden
Wahrscheinlichkeitsmaßes!
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