Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

n-dimensionale Glockenkurve:
( ) n
1
2
f(x 1 , . . . , x n ) = e
− 1 ∑ n
2 i=1 x2 i
2π
Es ist
∫
R n f(x)λ n (dx) =
=
∫
n
∏
R n i=1
n∏
∫
i=1
R
∀ (x1 , . . . , x n ) ∈ R n
1
√
2π
e − x2 i
2 dx1 . . . dx n
1
√
2π
e − x2 i
2 dxi = 1
Das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß heißt n-dimensionale Standard-Normalverteilung.
8.3.3 Lebesgue-Integral
Sei g : R → R stetig. Dann existieren das Riemann-Integral ∫ b
g(x) dx und
a
das Integral von g · 1 [a,b] bezüglich des Lebesgue-Maßes λ: ∫ g dλ. Beide
[a,b]
sind „natürlich“ gleich: Sei a = x 0 < x 1 < . . . < x n−1 < x n = b eine Zerlegung
Z des Intervalls [a, b] mit w(Z) = max {|x i − x i−1 | | i = 1, . . . , n}. Dann gilt:
∫ b
n∑
g(x) dx = g(x i−1 ) |x i − x i−1 |
Betrachte
Dann gilt:
a
lim
w(Z)→0
i=1
∑n−1
g Z = g(a)1 [a,x1 ) + g(x i−1 )1 [xi−1 ,x i ) + g(x n−1 )1 [xn−1 ,b]
∫
i=2
g Z dλ =
n∑
g(x i−1 ) |x i − x i−1 |
i=1
Für eine Folge von Zerlegungen (Z n ) n∈N
mit w(Z n ) −→ 0 gilt: g Zn −→ g·1 [a,b] .
Mit dem Satz von der dominanten Konvergenz gilt: ∫ g Zn dλ −→ ∫ g · 1 [a,b] dλ,
andererseits gilt ∫ g Zn dλ −→ ∫ b
g(x) dx, also ∫ b
g(x) dx = ∫ g dλ.
a a [a,b]
Deshalb schreiben wir statt ∫ g dλ zumeist ∫ g(x) dx.
B B
59