Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

folgt:
∑
∫
n
A n
X dµ = lim
k→∞
k∑
∫
n=1
∫
= lim
k→∞
∫
= lim
k→∞
= lim
∫
(⋆)
=
=
k→∞
∫
∫
X1 An dµ
k∑
X1 An dµ
n=1
X1 ∑ k dµ
n=1
An
X1 ∑ k dµ
n=1
An
lim
k→∞ X1∑ k dµ
n=1
An
X1 ∑ n An dµ
Dabei folgt (⋆) bei integrierbarem X aus dem Satz von der dominanten
Konvergenz, bei X ≥ 0 aus dem Satz der monotonen Konvergenz.
8.3.2 Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten - der allgemeine Fall
Sei µ ein Maß auf (Ω, A). Sei f : Ω → R eine meßbare Abbildung f ≥ 0 mit
∫
f dµ = 1. Definiere
∫
P : A → [0, 1] durch P (A) =
A
f dµ
Dann ist P ein Wahrscheinlichkeitsmaß, beachte dazu die Bemerkung oben.
Offensichtlich gilt:
∫ ∫
P (∅) = f1 ∅ dµ = 0 dµ = 0
∫ ∫
P (Ω) = f1 Ω dµ = f dµ = 1
( ) ∑
P A n = ∑ ∫
f dµ = ∑ P (A n )
n
n A n n
Anwendung: Wahrscheinlichkeitsmaße auf R n werden oft unter Benutzung
dieser Möglichkeit angegeben. Benutze dazu (Ω, A) = (R n , B n ) mit µ = λ n .
Beispiel: Zweidimensionale Glockenkurve:
1
√ e − x2 1 1
2 · √ e − x2 2
2 = 1 x2
2π 2π 2π e− 1 +x2 2
2
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