Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz
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Beweis: Mit dem Lemma <strong>von</strong> Fatou gilt:<br />
∫<br />
lim inf X n dµ ≤ lim inf<br />
n<br />
n<br />
∫<br />
X n dµ<br />
und<br />
∫<br />
Also ist 12 −<br />
∫<br />
∫<br />
lim inf(−X n ) dµ ≤ lim inf<br />
n<br />
n<br />
lim sup<br />
n<br />
Zusammen ergibt sich:<br />
∫<br />
lim inf X n dµ ≤ lim inf<br />
n<br />
n<br />
} {{ }<br />
=X<br />
Damit ist also<br />
∫<br />
∫<br />
∫<br />
X dµ = lim inf<br />
∫<br />
X n dµ ≤ − lim sup<br />
n<br />
∫<br />
X n dµ ≤ lim sup<br />
n<br />
(−X n ) dµ<br />
X n dµ<br />
∫<br />
X n dµ ≤<br />
∫<br />
X n dµ = lim sup<br />
n<br />
n<br />
} {{ }<br />
=lim ∫ X n dµ<br />
∫<br />
X n dµ =<br />
lim sup X n dµ<br />
}<br />
n<br />
{{ }<br />
=X<br />
X dµ<br />
Bemerkungen:<br />
• Es wird definiert ∫ X dµ = ∫ X1<br />
A A dµ, Schreibweisen:<br />
∫ ∫<br />
X dµ = X(ω)µ(dω)<br />
A<br />
• Mit obiger Definition ergibt sich z.B. für integrierbares X bzw. X ≥ 0:<br />
∫<br />
X dµ = ∑ ∫<br />
X dµ<br />
∑<br />
n An n A n<br />
A<br />
Begründung dazu: Mit obigen Sätzen (und X1 ∑ k<br />
n=1 An → X1∑ n An )<br />
12 mit lim inf(−X n ) = lim sup X n<br />
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