Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

(c) Es ist X + Y = X + − X − + Y + − Y − = (X + Y ) + − (X + Y ) − ,
daraus folgt
(X + Y ) + + X − + Y − = (X + Y ) − + X + + Y +
Damit folgt:
∫
∫
(X+Y ) + dµ+
∫
X − dµ+
∫
Y − dµ =
∫
(X+Y ) − dµ+
∫
X + dµ+
Y + dµ
Also ist ∫ (X + Y ) dµ = ∫ X dµ + ∫ Y dµ.
Satz: (Lemma von Fatou) Seien X 1 , X 2 , . . . meßbare Abbildungen. Es
existiere ein integrierbares Y mit Y ≤ X n für alle n. Dann gilt:
∫
∫
lim inf X n ≤ lim inf X n
n
n
Beweis: Zur Erinngerung: Es ist
Nun ist
lim inf
n
X n = sup
n
inf X k = lim n Z n mit Z 1 ≤ Z 2 . . .
k≥n
} {{ }
z n
∫
∫
lim inf(X n − Y ) dµ = lim(Z n − Y ) dµ
n
n
∫
(8.3.1)
= lim (Z n − Y ) dµ
n
∫ ∫
= lim Z n dµ − Y dµ
n
∫
∫
= lim inf X k dµ − Y dµ
n k≥n
∫ ∫
Monotonie des Integrals ≤ lim inf X k dµ − Y dµ
n k≥n
Satz: (Satz von Lebesgue, Satz von der dominanten Konvergenz) Seien
X, X 1 , X 2 , . . . meßbare Abbildungen mit lim n X n = X. Es existieren
integrierbare Abbildungen Y 1 , Y 2 mit Y 1 ≤ X n ≤ Y 2 für alle n. Dann gilt:
∫
∫
lim X n dµ = lim X n dµ
n n
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