Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

1 Zufallsexperimente
1.1 Definitionen
Eine Simulation, die zufällige Ergebnisse liefert, wird als Zufallsexperiment
bezeichnet. Es besteht aus einem Ergebnisraum Ω, der sämtliche möglichen
Ergebnisse w ∈ Ω etnhält. Als Ereignisse A, denen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet
werden sollen, werden Teilmengen A ⊆ Ω betrachtet. Den Ereignissen
A wird eine Zahl P (A) ∈ [0, 1] zugeordnet, die als Wahrscheinlichkeit von
A bezeichnet wird und die Wahrscheinlichkeit angibt, dass das Ergebnis des
Zufallsexperiments in A liegt. Für Ereignisse A, B ist
• A ∪ B: Ereignis, daß das Ergebnis in A oder B liegt
• A ∩ B: Ereignis, daß das Ergebnis in A und B liegt
• Für A 1 , A 2 , . . ., bedeutet w ∈ ⋂ ∞ ⋃
n=1 k≥n A k = lim sup A n , dass für alle
n ein k ≥ n existiert so, dass gilt w ∈ A k . Also entspricht lim sup A n
das Ereignis, dass für unendlich viele k i das Ergebnis w ∈ A ki liegt.
1.2 Würfeln
Bei einem Würfel ist Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Das Ereignis, dass eine gerade Zahl
gewürfelt wird, ist A = {2, 4, 6}. Es gilt P ({i}) = 1 |A|
, daher P (A) = = 1.
6 6 2
1.3 Kartenverteilung
Ω = {(B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ) | B i ⊂ {1, 2, . . . , 52}, |B i | = 13, B i ∩ B j = ∅ für i ≠ j}.
Es gilt: P ({w}) =
1
53 644 737 765 488 792 839 237 440 000
1.4 Lottospiel
Beim Lotto werden 6 Zahlen aus 49 Zahlen ohne Zurücklegen gezogen, dies entspricht
dem Ergebnisraum Ω = {(ω 1 , . . . , ω 6 ) | 1 ≤ ω 1 < ω 2 < . . . < ω 6 ≤ 49}.
Dabei ist
( )
49 · 48 · . . . · 44 49
|Ω| = = = 13 983 816
6!
6
Da jede Ziehung gleich wahrscheinlich ist, liegt ein Laplace-Experiment vor,
Festlegung: P ({ω}) = 1
|Ω|
für alle ω ∈ Ω, zudem ist
P (A) = ∑ w∈A
P ({ω}) = |A|
|Ω| für A ⊆ Ω
1