Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Es gilt für jedes i = 1, . . . , n:
A i,1 ⊆ A i,2 ⊆ . . . ⇒ ⋃ k∈N
A i,k = A i (∗)
Es gilt
µ(A i ) = µ
( ⋃
m∈N
A i,m
)
= lim
m→∞ µ(A i,m)
Damit gilt:
X m
Def.A i,m
≥
n∑
i=1
α i
c 1 A i,m
Also gilt weiter: ∫ X m dµ ≥ ∑ n α i
i=1
µ(A c i,m) und
Satz:
∫
lim
m→∞
X m dµ ≥
n∑
i=1
α i
c
lim µ(A i,m) (∗)
=
m→∞
n∑
i=1
α i
c µ(A i) > β
1. mit X, Y ≥ 0 und a, b ≥ 0 ist
∫
∫
(aX + bY ) dµ = a
∫
X dµ + b
Y dµ
2. für allgemeine, integrierbare X, Y und a, b ∈ R ist aX +bY integrierbar
und ∫
∫ ∫
(aX + bY ) dµ = a X dµ + b Y dµ
Beweis:
1. Zu X, Y wähle Folgen (X n ) n∈N und (Y n ) n∈N mit 0 ≤ X 1 ≤ X 2 ≤ . . . ↑ X
und 0 ≤ Y 1 ≤ Y 2 ≤ . . . ↑ Y Dann gilt: aX 1 + bY 1 ≤ aX 2 + bY 2 ≤ . . . ↑
aX + bY . Mit dem Satz von der monotonen Konvergenz folgt die
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