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Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

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(b) Für a, b ∈ R gilt<br />

E(aX + bY ) = ∑ i,j<br />

(aα i + bβ j )1 Ai ∩B j<br />

= ∑ i,j<br />

aα i 1 Ai ∩B j<br />

+ ∑ i,j<br />

bβ i 1 Ai ∩B j<br />

= aE(X) + bE(Y )<br />

Damit ist das Bilden des Erwartungswertes linear und monoton!<br />

Definition: Für Zufallsgrößen X ≥ 0 sei definiert:<br />

E(X) = sup {E(Y ) | Y Zufallsgr. mit endl. Wertebereich 0 ≤ Y ≤ X}<br />

Ist X allgemeine Zufallsgröße, so schreibe X = X + − X − . X heißt regulär,<br />

falls E(X + ) < ∞ oder E(X − ) < ∞. Es wird dann definiert:<br />

E(X) = E(X + ) − E(X − )<br />

X heißt integrierbar, falls gilt: E(X + ) < ∞ und E(X − ) < ∞. Man beachte:<br />

Wegen |X| = X + + X − ist X integrierbar genau dann, wenn E(|X|) < ∞<br />

ist. Ist diese allgemeinere Erwartungswertbildung immer noch linear und<br />

monoton?<br />

8.2.2 Monotonie und Linearität<br />

Aus X ≥ 0, Y ≥ 0, X ≤ Y folgt<br />

E(X) = {E(Z) | Z Zufallsgr. mit endl. Wertebereich 0 ≤ Z ≤ X}<br />

≤ {E(Z) | Z Zufallsgr. mit endl. Wertebereich 0 ≤ Z ≤ Y }<br />

= E(Y )<br />

Schwierig ist der Nachweis der Linearität! Es gilt:<br />

sup<br />

x∈X<br />

(f(x) + g(x)) ≤ sup<br />

x∈X<br />

f(x) + sup g(x)<br />

x∈X<br />

Seien (X n ) n∈N und (Y n ) n∈N Folgen mit X n ↑ X und Y n ↑ Y , dann ist E(X n ) +<br />

E(Y n ) = E(X n + Y n ). Wir benötigen noch folgende Aussage:<br />

Dann haben wir:<br />

X n ↑ X =⇒ E(X n ) ↑ E(X)<br />

EX + EY = lim (E(X n ) + E(Y n )) = lim E(X n + Y n ) = E(X + Y )<br />

n→∞ n→∞<br />

Der Schlüssel zum Umgang mit Erwartungswertbildung ist also eine Aussage<br />

vom Typ (⋆) , bekannt als der Satz <strong>von</strong> der monotonen Konvergenz aus der<br />

Maßtheorie.<br />

52<br />

(⋆)

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