Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz
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(b) Für a, b ∈ R gilt<br />
E(aX + bY ) = ∑ i,j<br />
(aα i + bβ j )1 Ai ∩B j<br />
= ∑ i,j<br />
aα i 1 Ai ∩B j<br />
+ ∑ i,j<br />
bβ i 1 Ai ∩B j<br />
= aE(X) + bE(Y )<br />
Damit ist das Bilden des Erwartungswertes linear und monoton!<br />
Definition: Für Zufallsgrößen X ≥ 0 sei definiert:<br />
E(X) = sup {E(Y ) | Y Zufallsgr. mit endl. Wertebereich 0 ≤ Y ≤ X}<br />
Ist X allgemeine Zufallsgröße, so schreibe X = X + − X − . X heißt regulär,<br />
falls E(X + ) < ∞ oder E(X − ) < ∞. Es wird dann definiert:<br />
E(X) = E(X + ) − E(X − )<br />
X heißt integrierbar, falls gilt: E(X + ) < ∞ und E(X − ) < ∞. Man beachte:<br />
Wegen |X| = X + + X − ist X integrierbar genau dann, wenn E(|X|) < ∞<br />
ist. Ist diese allgemeinere Erwartungswertbildung immer noch linear und<br />
monoton?<br />
8.2.2 Monotonie und Linearität<br />
Aus X ≥ 0, Y ≥ 0, X ≤ Y folgt<br />
E(X) = {E(Z) | Z Zufallsgr. mit endl. Wertebereich 0 ≤ Z ≤ X}<br />
≤ {E(Z) | Z Zufallsgr. mit endl. Wertebereich 0 ≤ Z ≤ Y }<br />
= E(Y )<br />
Schwierig ist der Nachweis der Linearität! Es gilt:<br />
sup<br />
x∈X<br />
(f(x) + g(x)) ≤ sup<br />
x∈X<br />
f(x) + sup g(x)<br />
x∈X<br />
Seien (X n ) n∈N und (Y n ) n∈N Folgen mit X n ↑ X und Y n ↑ Y , dann ist E(X n ) +<br />
E(Y n ) = E(X n + Y n ). Wir benötigen noch folgende Aussage:<br />
Dann haben wir:<br />
X n ↑ X =⇒ E(X n ) ↑ E(X)<br />
EX + EY = lim (E(X n ) + E(Y n )) = lim E(X n + Y n ) = E(X + Y )<br />
n→∞ n→∞<br />
Der Schlüssel zum Umgang mit Erwartungswertbildung ist also eine Aussage<br />
vom Typ (⋆) , bekannt als der Satz <strong>von</strong> der monotonen Konvergenz aus der<br />
Maßtheorie.<br />
52<br />
(⋆)