Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

als
E(X) =
=
n∑ k ( M
k
( N
n)
k=0
n∑
k=1
= n M N ·
)( N−M
n−k
M ( M−1
k−1
∑n−1
k=0
n−1
)
)( (N−1)−(M−1)
)
n−1−(k−1)
(
N N−1
)
n n−1
( M−1
)( (N−1)−(M−1)
k n−1−k
( N−1
n−1
= n M N ·
∑
(H(N − 1, M − 1, n − 1))({k})
k=0
)
)
= n M N
8.2.1 Eigenschaften
1. Sei X Zufallsgröße mit endlichem Wertebereich, X = ∑ n
i=1 α i1 Ai mit
paarweise verschiedenen A i und ∑ n
i=1 A i = Ω. Dann gilt:
E(X) = ∑
xP ({ω | X(ω) = x})
x∈X(Ω)
= ∑ (
x ∑ )
P (A i )
x∈X(Ω) i, x=α i
= ∑ ∑
α i P (A i )
x∈X(Ω) i, x=α i
n∑
= α i P (A i )
2. Seien X, Y Zufallsgrößen mit endlichem Wertebereich,
i=1
X =
n∑
α i 1 Ai = ∑ i,j
i=1
α i 1 Ai ∩B j
und Y =
m∑
j=1
β j 1 Bj = ∑ i,j
β i 1 Ai ∩B j
(a) Aus X ≤ Y folgt E(X) ≤ E(Y ), denn wegen α i ≤ β j auf A i ∩ B j
ist
E(X) = ∑ α i 1 Ai ∩B j
≤ ∑ β i 1 Ai ∩B j
= E(Y )
i,j
i,j
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