Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

8.2 Erwartungswert
Definition: Sei X eine Zufallsgröße mit endlichem Wertebereich. Dann
sei der Erwartungswert E(X) von X definiert als:
E(X) =
∑
xP (X = x)
x∈X(Ω)
Beispiele:
1. Sei X die B(n, p)-Verteilung. Dann gilt 11 :
E(X) =
=
n∑
k · P (X = k)
k=0
n∑
k ·
k=0
( n
k)
p k (1 − p) n−k
n∑
( ) n − 1
= n · pp k−1 (1 − p) n−1−(k−1)
k − 1
k=1
∑n−1
( ) n − 1
= n · p ·
p k (1 − p) n−1−k
k
k=0
} {{ }
=(p+(1−p)) n−1 =1
= np
2. Ziehen mit und ohne Zurücklegen: Seien N Kugeln gegeben, darunter
M weiße und N −M grüne. Bei n Zügen ist X die Anzahl der gezogenen
weißen Kugeln.
• mit Zurücklegen: X = B(n, M ), also E(X) = n M N N
• ohne Zurücklegen: X = H(N, M, n) hypergeometrische Verteilung,
also P (X = k) = (M k )( N−M
n−k )
. Der Erwartungswert berechnet sich
( N n)
11 mit ( ) (
n
k =
n n−1
)
k k−1
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