Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Dabei ist G n dier erzeugende Funktion von P Xn , bzw. von X n . Insbesondere
gilt G n (1) = 1.
Bildet man dann die Ableitung G ′ n(z) = ∑ n−1
k=0 kzk−1 P n,k , so erhält man durch
G ′ n(1) = ∑ n
k=0 kp n,k den gewünschten Wert. In unserem Fall erhält man dann:
G(z) = P 1,0 + zP 1,1 = 1 und mittels der gebildeten rekursiven Beziehung auch
n∑ ∑n−1
G n (z) = z k P n,k = z z k−1 1 n P ∑n−1
n−1,k−1 + z k n − 1
n
P n−1,k
= z n
Damit erhält man
G n (z) = z + n − 1
n
k=0
n−2
∑
k=1
k=0
z k 1 n P n−1,k + n − 1
n
k=0
∑n−1
z k P n−1,k
k=0
= z n G n−1(z) + n − 1
n
G n−1(z)
= z + n − 1 G n−1 (z)
n
G n−1 (z) = z + n − 1
n
und G ′ n(z) = 1 n G n−1(z) + z+n−1
n
G ′ n(1) = 1 n + 1
n − 1 + . . . + 1 2 =
z + n − 2
n − 1
G n−2(z) = . . . = 1 (z+n−1)·. . .·(z+1)
n!
G ′ n−1(z), wegen G ′ n(1) = 0 folgt
n∑ 1
k
Also ist ∑ n−1
k=0 kP n,k = ∑ n 1
k=2
. Die Größenordnung erhält man durch den
k
Vergleich von Summe und Integral:
log(n + 1) − log(2) =
∫ n
1
1
x + 1 dx ≤
n∑
k=2
k=2
∫
1 n
k ≤ 1
dx = log n
x
Wir merken an, daß zur Bestimmung des mittleren Wertes von X n gebildet
wurde:
∑n−1
∑n−1
kP (X n = k) = kP ({ω | X n (ω) = k})
k=0
=
=
k=0
n−1
∑
∑
k=0 ω∈{X n=k}
∑n−1
∑
k=0 ω∈{X n=k}
1
kP ({ω})
= ∑ ω∈Ω
X n (ω)P ({ω})
X n (ω)P ({ω})
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