Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Als mittleren Wert betrachtet man dabei 0·P (X = 0)+1·P (X = 1)+2·P (X =
2) = 5 6 .
Dieser Wert soll im Allgemeinen bestimmt werden, also ∑ n−1
k=0
kP (X = k).
Wie man sieht, ist nur die Anordnung der ω i , jedoch nicht ihre tatsächliche
Größe von Bedeutung, so daß wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit
annehmen können, daß ω eine Permutation der Zahlen 1, . . . , n ist. Betrachtet
wird also das Zufallsexperiment
Ω n = {ω = (ω 1 , . . . , ω n ) | ω Permutation von {1, . . . , n}}
mit Laplace-Verteilung, also P n (A) = |A|
n!
für alle A ⊆ Ω n . Ferner sei
X n : Ω → {0, . . . , n − 1} mit ω ↦→ # Austauschschritte bei ω
Eine Definition von Funktionen durch Programme, Flußdiagramme bzw. Automaten
ist in der Informatik üblich. Um eine für die Mathematik gebräuchliche
Form zu erhalten, benutzen wir einen induktiven Vorgang:
Es ist X 1 = 0, für n > 1 definiere X n (ω) = X n−1 (˜ω), falls ω 1 ≠ n;
und X n (ω) = X n−1 (˜ω) + 1, falls ω 1 = n, wobei ˜ω Permutation von
{1, . . . , n − 1} mit ˜ω i < ˜ω j genau dann, wenn ω i+1 < ω j+1 für alle
i, j ∈ {1, . . . , n}.
Ebenso wie eine explizite Angabe von X n schwierig ist, ist dies auch für die
Wahrscheinlichkeiten P n,k = P n (X n = k). Wir benutzen somit wieder ein
rekursives Vorgehen: Offensichtlich ist P 1,0 = 1 und P 1,1 = 0. Ferner gilt für
jedes k ∈ {0, . . . , n − 1} mit n ≥ 2
P n,k = P n ({ω | X n (ω) = k, ω 1 = n}) + P n ({ω | X n (ω) = k; ω 1 ≠ n})
= |{ω | X n(ω) = k, ω 1 = n}|
+ |{ω | X n(ω) = k; ω 1 ≠ n}|
n!
n!
= 1 n P n(X n−1 = k − 1) + n − 1
n P n(X n−1 = k)
= 1 n P n−1,k−1 + n − 1
n
P n−1,k
wobei P n−1,−1 := 0 = P n−1,n−1 . Mit den vorgegebenen Anfangsbedingungen
können wir mit dieser Rekursion, in der die P n,k numerisch berechnet werden
und damit auch ∑ n−1
k=0 kP n,k, die mittlere Anzahl an Austausschritten.
Um einen expliziten Ausdruck für ∑ n−1
k=0 kP n,k zu ermitteln, gehen wir über
zu einem weiteren Hilfsmittel: Wir bilden
∑n−1
∑n−1
G n : (0, ∞) → (0, ∞) mit z ↦→ z k p n,k = z k P (X n = k)
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k=0
k=0