Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

8 Erwartungswerte und Integral
8.1 Untersuchung eines Algorithmus’
Seien Zahlen ω 1 , . . . , ω n gegeben. Betrachte den Algorithmus:
j := n;
m := ω n ;
for(k := n − 1; k > 0; k − −)
if(ω k > m)
{
j := k;
m := ω k ;
{
write(j, m);
Dieser sucht das Maximum und die Maximalstelle. Untersuche nun das Laufzeitverhalten
des Algorithmus! Dies führt zu Fragen der Wahrscheinlichkeitstheorie:
Bei der Untersuchung von mittleren Laufzeiten wird die Eingabe
als zufällig angesehen und es wird die durchschnittliche Laufzeit bestimmt.
Die Anzahl X von Austausschritten (j := k; und m := ω k ) ist abhängig
vom Vektor (ω 1 , . . . , ω n ). Die minimale Anzahl X = 0 ergibt sich, falls ω n =
max j≤n ω j ; die maximale Anzahl X = n−1 ergibt sich für ω 1 > ω 2 > . . . > ω n .
Die Aufwandsanalyse von Programmen ergibt sich dadurch, daß die mittlere
Anzahl von Programmschritten ermittelt wird, und zwar in einem geeigneten
wahrscheinlichkeitstheoretischen Modell.
Modellannahme: ω i ≠ ω j für alle 1 ≤ i ≤ j ≤ n mit i ≠ j, sämtliche
Permutationen der n Zahlen sollen gleichwahrscheinlich sein. Betrachten wir
n = 3:
ω 1 < ω 2 < ω 3 ⇒ X(ω) = 0
ω 1 < ω 3 < ω 2 ⇒ X(ω) = 1
ω 2 < ω 1 < ω 3 ⇒ X(ω) = 0
ω 2 < ω 3 < ω 1 ⇒ X(ω) = 1
ω 3 < ω 1 < ω 2 ⇒ X(ω) = 1
ω 3 < ω 2 < ω 1 ⇒ X(ω) = 2
Jeder Fall tritt dabei mit der Wahrscheinlichkeit von 1 6
auf, so daß sich ergibt:
P (X = 0) = 1 3
P (X = 1) = 1 2
P (X = 2) = 1 6
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