Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

7.4.2 Praktische Erwägungen zur Verteilung von Zufallsgrößen
1. Die Verteilung von Zufallsgrößen kann insbesondere festgelegt werden
durch
(a) Angabe der Verteilungsfunktion F X
(b) Angabe der Dichte f X
Von (a) nach (b) gelangt man durch Differenzieren, sei beispielsweise
F gegeben mit I = {t | 0 < F (t) < 1} und F ∈ C 1 (I), ableiten ergibt
f X = (F X ) ′ , auf I und f X = 0 sonst.
Von (b) nach (a) gelangt man durch Integrieren, F X (t) = ∫ t
−∞ f X (x) dx.
2. Gegeben seien Abbildungen Ω −→ X
R −→ g
R, X besitze die Dichte f X ,
welche Dichte hat dann g(X)(= g ◦ X)? Bei g streng monoton
P (g(x) ≤ t) = P (X ≤ g −1 (t)) = F X (g −1 (t))
Dichte durch Ableitung, falls F X stetig differenzierbar, g differenzierbar:
Beispiel: Dichte von X 2 ? Es ist
Durch Ableiten:
f g(X) (x) = f X (g −1 (x))(g −1 ) ′ (x)
P (X 2 ≤ t) = P (− √ t ≤ X ≤ √ t)
f X2 (x) = f X ( √ x) ·
= P (X ≤ √ t) − P (X < − √ t)
= F X ( √ t) − F X (− √ t)
1
2 √ x − f X (− √ 1
x) ·
2 √ x
Ist zum Beispiel X N(0, 1)-verteilt, so besitzt X 2 die Dichte (Gamma-Verteilung):
1
√
2π
e − x 2
1
2 √ x + 1 √
2π
e − x 2 ·
1
2 √ x = 1 √
2π
x − 1 2 e
− x 2
46