Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

D.h. es ist
Dann gilt:
X n =
n2
∑
n −1
i=0
i
2 n 1 { i
2 n ≤X< i+1
2 n } + n1 {X≥n}
1. X 1 , X 2 , . . . sind meßbar mit endlichen Wertebereich.
2. Monotonie: X n (ω) ≤ X n+1 (ω) für alle n, ω.
3. Für n ≥ X(ω) gilt: |X n (ω) − X(ω)| ≤ 1
2 n , also X n (ω) → X(ω).
Sind X 1 , X 2 , . . . meßbar reellwertig, so sind auch sup n X n , inf n X n , lim sup n X n ,
lim inf n X n meßbar, denn: 10
1. {sup n X n ≤ t} = ⋂ {X n ≤ t}
2. inf X n = − sup n (−X n )
3. lim sup n X n = inf n sup k≥n X k
4. lim inf n X n = − lim sup n (−X n )
Beachte aber: i.a. ist sup X n : Ω → ¯R = R ∪ {−∞, ∞}, wobei ¯B = σ(B ∪
{−∞, ∞})
7.4.1 Beweismethodik
Sie haben die Aufgabe, für eine Aussage (⋆) herzuleiten, daß sie für jedes
meßbare X ≥ 0 gilt.
Beweismethode: Sei X die Menge aller meßbaren X ≥ 0. Definiere zunächst
die Menge M = {X ∈ X | (⋆) gilt für X}. Zeige:
1. {X ∈ X | X hat endlichen Wertebereich } ⊆ M
2. Sind X 1 , X 2 , . . . ∈ M mit 0 ≤ X 1 ≤ X 2 ≤ . . ., so ist auch lim n→∞ X n ∈
M
Aus beiden Eigenschaften folgt: M = X . Um schließlich etwas für beliebige
meßbare Abbildungen nachzuweisen, schreibe man X = X + − X − (mit
X + = max{X, 0} und X − = − min{X, 0}) als Differenz zweiter meßbarer
Abbildungen ≥ 0:
X X + X -
10 „Das wissen Sie alle: Mogeln spart Zeit, das kennen wir schon aus der Schule.“
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