Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole KÃ¼rtz

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8.4 Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 8.4.1 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 8.4.2 Chebyshev-Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 9 Momente und stochastische Ungleichungen 64 9.1 Momente, Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 9.2 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 9.2.1 Cauchy-Schwarz-Ungleichung . . . . . . . . . . . . 65 9.2.2 Jensensche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 66 10 Stochastische Unabhängigkeit 67 10.1 Faltung, Faltungsstabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 10.1.1 Binomial-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 10.1.2 Poisson-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 10.2 Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 10.2.1 Satz von Fubini - Formulierung . . . . . . . . . . . . 71 10.2.2 Summe zweier unabhängiger Zufallsgrößen . . . . . . . 72 10.2.3 Satz von Fubini - Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . 72 10.2.4 Die Varianz der Summen von Zufallsgrößen . . . . . . . 74 11 Gesetze der großen Zahlen 75 11.1 Motivation zum Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . 75 11.1.1 Versuchswiderholungen und relative Häufigkeiten . . . 76 11.2 Schwaches Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 77 11.3 Fast sichere Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 11.3.1 Umformulierung der fast sicheren Konvergenz . . . . . 78 11.3.2 Fast sichere und schwache Konvergenz . . . . . . . . . 79 11.4 Starkes Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 80 11.4.1 Versuch, zu einem Starken Gesetz zu gelangen . . . . . 80 11.4.2 Starkes Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . . 81 11.4.3 Starkes Gesetz der großen Zahlen für relative Häufigkeiten 82 11.5 Empirische Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 11.6 Das starke Gesetz der Großen Zahlen von Kolmogorov . . 83 11.6.1 vereinfachte Form des Lemmas von Kronecker . . . 83 11.6.2 Ungleichung von Kolmogorov . . . . . . . . . . . . 84 11.6.3 Konvergenzkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 11.6.4 Das starke Gesetz der Großen Zahlen von Kolmogorov 87 12 Verteilungskonvergenz und der zentrale Grenzwertsatz 89 12.1 Verteilungskonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 12.1.1 Anwendung auf Summen unabhängiger Zufallsgrößen . 94 iii
12.1.2 Methodik zum Beweis des zentralen Grenzwertsatzes . 95 iv
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Seite 7 und 8: Wir geben einen festen Top (b 1 , .
Seite 9 und 10: • Der Winkel ϕ ∈ [− π, π )
Seite 11 und 12: 2 Wahrscheinlichkeitsräume Ziel is
Seite 13 und 14: möglichen Ergebnisse Ω, einem Sys
Seite 15 und 16: Satz: Ω sei eine Menge, E ⊂ P(Ω
Seite 17 und 18: 3 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Seite 19 und 20: Für N = 5 ist P (B 0 ) = 36.7%, be
Seite 21 und 22: 1. Da (A i ) i∈N wachsend ist, gi
Seite 23 und 24: ¨ ¨ ¨ ¨ ¢ 4 Bedingte Wahrschei
Seite 25 und 26: 4.1.1 Aussagekraft von medizinische
Seite 27 und 28: Beweis: Es gilt: (( ) c ) P lim sup
Seite 29 und 30: Das Borel-Cantelli-Lemma liefert 7
Seite 31 und 32: 5.2 Hypergeometrische Verteilung Qu
Seite 33 und 34: 5.7 Poisson-Verteilung −β βω F
Seite 35 und 36: 6 Wahrscheinlichkeitsmaße auf R Be
Seite 37 und 38: 6.1.2 Dynkin-Systeme Die Dynkin-Sys
Seite 39 und 40: 6.1.3 Beweis der Eindeutigkeit (kor
Seite 41 und 42: Falls diese Fragen mit ja! beantwor
Seite 43 und 44: Die Normalverteilung (Gaußverteilu
Seite 45 und 46: Die Cantormenge hat die Eigenschaft
Seite 47 und 48: X -1 (B) X B (Ω, , P) (¡ , ¢ , P
Seite 49 und 50: Ω A 1 A n A 2 A 3 X { α 1 , α 2
Seite 51 und 52: 7.4.2 Praktische Erwägungen zur Ve
Seite 53 und 54: Als mittleren Wert betrachtet man d
Seite 55 und 56:
8.2 Erwartungswert Definition: Sei
Seite 57 und 58:
(b) Für a, b ∈ R gilt E(aX + bY
Seite 59 und 60:
Es gilt für jedes i = 1, . . . , n
Seite 61 und 62:
(c) Es ist X + Y = X + − X − +
Seite 63 und 64:
folgt: ∑ ∫ n A n X dµ = lim k
Seite 65 und 66:
8.3.4 Integration bzgl. durch Dicht
Seite 67 und 68:
8.4 Varianz Der Erwatungswert ist a
Seite 69 und 70:
9 Momente und stochastische Ungleic
Seite 71 und 72:
9.2.2 Jensensche Ungleichung Satz:
Seite 73 und 74:
die Verteilung von X = X 1 + X 2 ?
Seite 75 und 76:
Es ist P ((X 1 , X 2 ) ∈ A) = E(1
Seite 77 und 78:
10.2.2 Summe zweier unabhängiger Z
Seite 79 und 80:
10.2.4 Die Varianz der Summen von Z
Seite 81 und 82:
Sei nun X i = 1 {1} (Y i ) (d.h. nu
Seite 83 und 84:
Und für relative Häufigkeiten bei
Seite 85 und 86:
Dies ist wieder eine Umformulierung
Seite 87 und 88:
Beweis: Beachte zunächst mit der J
Seite 89 und 90:
Nun gilt mit dem Grenzwertsatz von
Seite 91 und 92:
Einschub: Konvergenzkriterium für
Seite 93 und 94:
Setze weiter S n = ∑ n i=1 Y i. D
Seite 95 und 96:
Definition: Seien Z, Z 1 , Z 2 , .
Seite 97 und 98:
Es gilt 1 {U∈Z c } · g(Fn −1 (
Seite 99 und 100:
4. Zusammenfügen der ersten drei S
Seite 101:
Achtung! Hier fehlt noch das Ende d
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