Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Ω
A 1
A n
A 2
A 3
X
{ α 1 , α 2 , α 3 , …, α n }
Strukturaussage über meßbare reellwertige Abbildungen ≥ 0: Diese sind
darstellbar als Limites von monoton wachsenden Folgen von meßbaren Abbildungen
mit endlichem Wertebereich:
Satz: Sei X eine meßbare Abbildung, X : Ω → [0, ∞). Dann existiert eine
Folge von meßbaren Abbildungen X n : Ω → [0, ∞) mit endlichem Wertebereich,
so daß gilt 0 ≤ X 1 ≤ X 2 ≤ . . . und lim n→∞ X n = X (punktweise
Konvergenz).
Beweis: Definiere
{ n falls X(ω) ≥ n
X n (ω) = i
i
falls ≤ X(ω) < i+1 i = 0, 1, . . . , n2 n − 1
2 n 2 n 2 n
n —
X
X n
n+1 —
X
X n+1
n —
X n
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