Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

(iv) X ist genau dann messbar, wenn X i messbar ist für i = 1, . . . , n. Beweis:
„⇒“ X −1
i (B) = X −1 (R × . . . × R × B × R × . . . × R).
„⇐“ Wende (ii) an, beachte dabei:
{ω | X(ω) ≤ t} = {ω | X i (ω) ≤ t i für i = 1, . . . , n}
n⋂
= {ω | X i (ω) ≤ t i }
i=1
(v) Ist f : R k → R n stetig, so ist f messbar. Wende dazu (ii) an mit
F = { O | O ⊆ R N offen } .
(vi) Sind X 1 , . . . , X n : Ω → R messbar, so sind es auch X 1 + . . . + X n und
min{X 1 , . . . , X n }.
Beweis: X = (X 1 , . . . , X n ) ist laut (iii) messbar. Betrachte nun
Ω X −→ R n +...+,
min{...}
−−−−→ R
Die Funktionen + . . . + und min sind stetig, somit ist die gesamte
Abbildung messbar.
(vii) Sei f stetig, B ⊆ R n offen, dann ist f −1 (B) offen, also ∈ B k .
„Zusammenfassung“ der Eigenschaften: sämtliche Abbildungen in Stochastik I
und Stochastik II sind meßbar, d.h. Zufallsvariablen.
7.4 Meßbare Abbildungen mit endlichem Wertebereich
Zu A ⊆ Ω ist die Indikatorfunktion definiert als
{
1 ω ∈ A
1 A : Ω → R mit 1 A (ω) =
0 ω /∈ A
Es gilt 1 A ist genau dann meßbar, wenn A ∈ A. Seien nun A i = {ω | X(ω) = α i },
dann gilt X = ∑ n
i=1 α i1 Ai ist meßbar, falls A 1 , . . . , A n ∈ A (siehe oben Eigenschaft
(vi)). Eine Zufallsvariable mit endlichem Wertebereich besitzt also
die Darstellung X = ∑ n
i=1 α i1 Ai mit meßbaren, paarweise disjunkten A i ∈ A.
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