Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

X -1 (B)
X
B
(Ω, , P) (¡ , ¢ , P X )
7.2 Modellierung
Zur Modellierung von zufälligen Vorgängen werden üblicherweise Zufallsvariablen
herangezogen, wobei nur deren Verteilung spezifiziert wird, jedoch nicht
der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum.
Beispiel: Wir spielen Roulette und registrieren bei n Spielen die Anzahl
des auftretenden „Rot“. Dann ist Ω = {(ω 1 , . . . , ω n ) | ω i ∈ {0, 1}}, Schwarz
entspricht 0 und Rot 1. Weiter ist
p(ω) = p ∑ n
i=1 x i
(1 − p) n−∑ n
i=1 x i
Sei X : Ω → X = {0, 1, . . . , n} mit X(ω) = ∑ n
i=1 ω i. P X ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß
auf {0, 1, . . . , n} gegeben durch
( n
P (X = k) = P X ({k}) = P ({ω | ω 1 + . . . + ω n = k}) = p
k)
k (1 − p) n−k
Verteilung von X ist also die Binomialverteilung mit Parametern (n, p), also
P X = B(n, p).
7.3 Eigenschaften von meßbaren Abbildungen
Im Folgenden betrachten wir einige einfachen Tatsachen über Meßbarkeit.
(i) Sind X : Ω → X und Y : X → Y meßbar, so ist Y ◦ X meßbar.
(ii) Sei C = σ(F) für ein Erzeugendensystem F. Für X : Ω → X gelte
X −1 (F ) ∈ A für alle F ∈ F. Dann gilt: X ist messbar. Setze C ′ =
{A ∈ C | X −1 (A) ∈ A}. Nach Voraussetzung gilt: C ′ ⊆ C. Weiter gilt:
C ′ ist eine σ-Algebra. Daraus folgt: C ′ ⊇ σ(F) = C
Sei nun X = (X 1 , . . . , X n ) : R → R n .
(iii) Es gelte {ω | X(ω) ≤ t} ∈ A für alle t ∈ R n . Dann ist X messbar. Dies
folgt mit (ii) und F = {((−∞, . . . , −∞), t] | t ∈ R n }
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