Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

7 Zufallsvariablen
In diesem Abschnitt werden die in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
stets benutzten Bezeichnungsweisen eingeführt.
7.1 Bezeichnungsweisen
Die Symbole X, Y, Z bezeichnen in der Regel Abbildungen, d.h. X : Ω → X ,
weiter ist X −1 : P(X ) → P(Ω) mit X −1 (A) = {ω | X(ω) ∈ A}. Weitere
Bezeichnungen:
{X ∈ A} steht für {ω | X(ω) ∈ A} = X −1 (A)
{X ≤ t} steht für {ω | X(ω) ≤ t}
P (X ∈ A) steht für P (X −1 (A)) = P ({ω | X(ω) ∈ A})
Definition: (Ω, A), (X , C) seien messbare Räume. Eine Abbildung X :
Ω → X heißt messbar, falls gilt: X −1 (A) ∈ A für alle A ∈ C. Falls (Ω, A, P )
einen Wahrscheinlichkeitsraum bildet, so wird eine messbare Abbildung
X : Ω → X als Zufallsvariable bezeichnet (random variable). Im Falle
X = R sprechen wir von einer Zufallsgröße.
Definition: X : Ω → X sei eine Zufallsvariable. Dann ist die Abbildung
P X : C → [0, 1] mit P X (A) = P (X ∈ A) = P (X −1 (A)) ein Wahrscheinlichkeitsmaß
und wird als Verteilung von X bezeichnet. Ist X Zufallsgröße, also
P X Wahrscheinlichkeitsmaß auf R, so wird die zugehörige Verteilungsfunktion
F X = F P X als Verteilungsfunktion von X bezeichnet; entsprechend f X
als Dichte von X bei Vorliegen einer solchen.
Beweis: Wir zeigen, dass P X ein Maß ist
P X (∅) = P (X −1 (∅)) = P (∅) = 0
P X (X = P (X −1 (X )) = p(Ω) = 1
( ) ∑
P X A i = P (X −1 ( ∑ A i ))
i
i
= P ( ∑ i
X −1 (A i )) = ∑ i
P (X −1 (A i )) = ∑ i
P X (A i )
41