Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz
Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz
Mathematische Formulierung der Gedächtnislosigkeit zur Modellierung von Wartezeiten, Lebensdauern: P ((s + t, ∞)) P ((s, ∞)) = P ((s + t, ∞)|(s, ∞)) = P ((t, ∞)) Die Wahrscheinlichkeit dafür, noch t Zeiteinheiten zu warten, ist unabhängig davon, ob man schon s Zeiteinheiten gewartet hat. 1. Falls P Exponentialverteilung Exp(β) ist, so ist P gedächtnislos, denn: Exp(β)((s, ∞)) = ∫ ∞ Die Behauptung folgt durch Einsetzen. s βe −βx dx = e −βs 2. Aus P gedächtnislos und P ((0, ∞)) = 1 folgt P Exponentialverteilung, denn: Setze G(t) = P ((t, ∞)), Gedächtnislosigkeit besagt G(s + t) = G(s)G(t) für alle s, t > 0, diese Funktionalgleichung für G liefert als Lösung G(s) = e γs mit γ < 0, da G(t) → 0 für t → ∞. Es folgt: P ((−∞, s]) = 1 − G(s) = 1 − e −βx mit β = −γ > 0. Eindeutigkeitssatz besagt: P ist Exponentialverteilung. 6.3.4 eine ungewöhnliche Verteilungsfunktion Definiere eine Verteilungsfunktion mit Hilfe der Cantormenge C: • induktiver Vorgang liefert Funktion auf Komplement der Cantormenge C: 1 0 0 1 • stetige Fortsetzung auf C liefert F : R → [0, 1] mit F (t) = 0 für t ≤ 0 und F (t) = 1 für t ≥ 1, wobei F monoton wachsend und stetig. 39
Die Cantormenge hat die Eigenschaft λ(C) = 0. Zur Cantorfunktion gehört eindeutig ein Wahrscheinlichkeitsmaß P . Frage: Wie groß ist P (C)? Äquivalent: Wie groß ist P (C c )? Für jedes Intervall I = [a, b] ist die Wahrscheinlichkeit P (I) = 0, da die Verteilungsfunktion F = 0 ist auf den herausgenommenen Intervallen. Somit ist P (C c ) = 0, also P (C) = 1. Definition: Seien P, Q Wahrscheinlichkeitsmaße • P heißt singulär zu Q (in Zeichen P ⊥Q), falls gilt: Es existiert A ∈ A mit P (A) = 0 und Q(A) = 1. • P heißt absolut stetig bezüglich Q (in Zeichen P ≪ Q), falls für alle A ∈ A gilt: Q(A) = 0 ⇒ P (A) = 0. Bezüglich dieser Definition gilt: P Cantor ⊥λ betrachtet als Wahrscheinlichkeitsmaße auf (0, 1), zudem gilt z.B. B(n, p)⊥R(0, n). Für Maße P, P ′ läßt sich nachweisen: P = Q + Q ′ mit Q⊥P ′ und Q ′ ≪ P ′ . 40
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Die Cantormenge hat die Eigenschaft λ(C) = 0. Zur Cantorfunktion gehört<br />
eindeutig ein Wahrscheinlichkeitsmaß P .<br />
Frage: Wie groß ist P (C)? Äquivalent: Wie groß ist P (C c )? Für jedes Intervall<br />
I = [a, b] ist die Wahrscheinlichkeit P (I) = 0, da die Verteilungsfunktion<br />
F = 0 ist auf den herausgenommenen Intervallen. Somit ist P (C c ) = 0, also<br />
P (C) = 1.<br />
Definition: Seien P, Q Wahrscheinlichkeitsmaße<br />
• P heißt singulär zu Q (in Zeichen P ⊥Q), falls gilt: Es existiert A ∈ A<br />
mit P (A) = 0 und Q(A) = 1.<br />
• P heißt absolut stetig bezüglich Q (in Zeichen P ≪ Q), falls für alle<br />
A ∈ A gilt: Q(A) = 0 ⇒ P (A) = 0.<br />
Bezüglich dieser Definition gilt: P Cantor ⊥λ betrachtet als Wahrscheinlichkeitsmaße<br />
auf (0, 1), zudem gilt z.B. B(n, p)⊥R(0, n). Für Maße P, P ′ läßt sich<br />
nachweisen: P = Q + Q ′ mit Q⊥P ′ und Q ′ ≪ P ′ .<br />
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