Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Mathematische Formulierung der Gedächtnislosigkeit zur Modellierung von
Wartezeiten, Lebensdauern:
P ((s + t, ∞))
P ((s, ∞))
= P ((s + t, ∞)|(s, ∞)) = P ((t, ∞))
Die Wahrscheinlichkeit dafür, noch t Zeiteinheiten zu warten, ist unabhängig
davon, ob man schon s Zeiteinheiten gewartet hat.
1. Falls P Exponentialverteilung Exp(β) ist, so ist P gedächtnislos, denn:
Exp(β)((s, ∞)) =
∫ ∞
Die Behauptung folgt durch Einsetzen.
s
βe −βx dx = e −βs
2. Aus P gedächtnislos und P ((0, ∞)) = 1 folgt P Exponentialverteilung,
denn: Setze G(t) = P ((t, ∞)), Gedächtnislosigkeit besagt G(s + t) =
G(s)G(t) für alle s, t > 0, diese Funktionalgleichung für G liefert als
Lösung G(s) = e γs mit γ < 0, da G(t) → 0 für t → ∞. Es folgt:
P ((−∞, s]) = 1 − G(s) = 1 − e −βx mit β = −γ > 0. Eindeutigkeitssatz
besagt: P ist Exponentialverteilung.
6.3.4 eine ungewöhnliche Verteilungsfunktion
Definiere eine Verteilungsfunktion mit Hilfe der Cantormenge C:
• induktiver Vorgang liefert Funktion auf Komplement der Cantormenge
C:
1
0
0 1
• stetige Fortsetzung auf C liefert F : R → [0, 1] mit F (t) = 0 für t ≤ 0
und F (t) = 1 für t ≥ 1, wobei F monoton wachsend und stetig.
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