Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Die Normalverteilung (Gaußverteilung) ist gegeben durch die Dichte
N(a, σ 2 ) =
1 (x−a)2
√ e− 2σ 2
2πσ
2
Sie wird häufig angewandt zur Beschreibung von Meßfehlern und Erträgen,
in der Ökonometrie etc., es ist die Verteilung der Statistik!
Nachzuweisen ist noch ∫ ∞
f(x) dx = 1 (und gehe zur neuen Variable x über
−∞ σ
in zweiten Schritt):
1
√
2πσ
2
∫ ∞
−∞
e − (x−a)2
2σ 2 dx =
=
∫
1 ∞
√ e − x2
2σ 2 dx
2πσ
2
−∞
∫
1 ∞
√
2π
−∞
e − x2
2 dx
Benötigt wird ∫ ∞ x2
e− 2 dx = √ 1
−∞ 2π
. Zum Nachweis betrachte (Trick! mit Polarkoordinaten
dxdy = rdrdϑ)
(∫ ∞
e − x2
−∞
) (∫ ∞
2 dx ·
6.3.3 Gammaverteilung
Definiere die Gammafunktion
)
e − y2 2 dy
−∞
=
=
∫ ∞ ∫ ∞
−∞ −∞
∫ 2π ∫ ∞
0
= 2π
e − x2 +y 2
2 dxdy
rdrdϑ
0
} {{ }
=1
Für α, β > 0 sei
Γ(α) =
∫ ∞
0
x α−1 e −x dx
f(x) =
{ β α x α−1 e −βx 1
Γ(α)
falls x > 0
0 falls x ≤ 0
Für α = 1 ist f(x) = βe −βx die Exponentialverteilung Exp(β). Sie wird benutzt
zur Modellierung von Wartezeiten, Bedienzeiten und radioaktiven Zerfällen.
Die Exponentialverteilung ist charakterisiert durch die Gedächtnislosigkeit.
38