Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Falls diese Fragen mit ja! beantwortet werden können, so ist diese Existenzaussage
bewiesen.
1. Ja! Definiere wieder ein System C, welches alle B ∈ B umfaßt, für die
G −1 (B) ∈ B gebildet werden kann, es ist wieder E ⊆ C und ist eine
σ-Algebra, also gleich σ(E) = B.
2. Ja! Folgt aus den Eigenschaften der Inversen G −1 .
6.2 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten unter Benutzung
von Verteilungsfunktionen
Definition: Es sei
f(x+) := lim
s↓x
f(s)
f(x−) := lim
s↑x
f(s)
f(∞−) := lim
s→∞
f(s)
Lemma: Es gilt für eine Verteilungsfunktion F P zum Wahrscheinlichkeitsmaß
P :
1. P ((a, b]) = F p (b) − F p (a)
2. P ((a, b)) = F p (b−) − F p (a)
3. P ([a, b]) = F p (b) − F p (a−)
4. P ([a, b)) = F p (b−) − F p (a−)
5. F ist stetig in t genau dann, wenn P ({t}) = 0 ist.
Beweis: Zunächst ist
P ((−∞, t)) = P
( ⋃
n∈N
(
−∞, t − 1 n] ) = lim
n→∞
P
((
−∞, t − 1 ])
n
2. P ((a, b)) = P ((−∞, b))−P ((−∞, a]) = F P (b−)−F P (a−), die nächsten
beiden entsprechend
5. Es ist P ({t}) = P ([t, t]) = F P (t) − F P (t−), d.h. bei P ({t}) = 0 ist die
Funktion im Punkt t linksseitig stetig und somit stetig.
Definition: Ein Wahrscheinlichkeitsmaß heißt stetig, falls P ({t}) = 0 für
alle t ∈ R.
Die am häufigsten benutzten Wahrscheinlichkeitsmaße auf R sind folgenden
Typs:
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