Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Strategie ist also: Nachdem ein Bierdeckel mit der Zahl x umgedreht wurde,
zückt man sein Noteboook ;o), lässt diesen den Wert y einer normalverteilten
Zufallsgröße Y erzeugen, vergleicht x und y und entscheidet sich für den
aufgedeckten Deckel, falls x > y ist und andernfalls für den noch zugedeckten.
6.1.5 Beweis der Existenzaussage
Satz: Sei F Verteilungsfunktion. Dann existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß
P auf R mit F (t) = P ((−∞, t]) für alle t ∈ R.
Beweis: Die Existenz ergibt sich mit dem Satz von Carathéodory. Alternative
Möglichkeit: Benutzung der verallgemeinerten Inversen F −1 und des
Lebesgueschen Maßes λ. Dies wird wie folgt durchgeführt:
0 F(t)
λ
Lebesguesches Maß
G -1
F -1 = G
t
P
Wahrscheinlichkeitsmaß
Definition: Zu F : R → [0, 1] definiere die verallgemeinerte Inverse
F −1 : (0, 1) → R mit F −1 (x) = inf {t | F (t) ≥ x}
Es gilt: F (t) ≥ x ⇔ t ≥ F −1 (x). Mit G = F −1 ist für alle i ∈ R:
G −1 ((−∞, t]) = {x | G(x) ≤ t} = {x | x ≤ F (t)} = (0, F (t)]
Für B ∈ B definiere P (B) = λ(G −1 (B)). Insbesondere gilt für B = (−∞, t]:
Fragen:
P ((−∞, t]) = λ(G −1 ((−∞, t])) = λ((0, F (t)]) = F (t)
1. Ist diese Definition sinnvoll? Darf λ(G −1 (B)) gebildet werden, d.h. ist
G −1 (B) ∈ B?
2. Ist P ein Wahrscheinlichkeitsmaß?
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