Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz
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8.4 Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
8.4.1 Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<br />
8.4.2 Chebyshev-Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<br />
9 Momente und stochastische Ungleichungen 64<br />
9.1 Momente, Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
9.2 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
9.2.1 Cauchy-Schwarz-Ungleichung . . . . . . . . . . . . 65<br />
9.2.2 Jensensche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 66<br />
10 Stochastische Unabhängigkeit 67<br />
10.1 Faltung, Faltungsstabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
10.1.1 Binomial-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68<br />
10.1.2 Poisson-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
10.2 Satz <strong>von</strong> Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
10.2.1 Satz <strong>von</strong> Fubini - Formulierung . . . . . . . . . . . . 71<br />
10.2.2 Summe zweier unabhängiger Zufallsgrößen . . . . . . . 72<br />
10.2.3 Satz <strong>von</strong> Fubini - Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
10.2.4 Die Varianz der Summen <strong>von</strong> Zufallsgrößen . . . . . . . 74<br />
11 Gesetze der großen Zahlen 75<br />
11.1 Motivation zum Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . 75<br />
11.1.1 Versuchswiderholungen und relative Häufigkeiten . . . 76<br />
11.2 Schwaches Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 77<br />
11.3 Fast sichere Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78<br />
11.3.1 Umformulierung der fast sicheren Konvergenz . . . . . 78<br />
11.3.2 Fast sichere und schwache Konvergenz . . . . . . . . . 79<br />
11.4 Starkes Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
11.4.1 Versuch, zu einem Starken Gesetz zu gelangen . . . . . 80<br />
11.4.2 Starkes Gesetz der großen Zahlen . . . . . . . . . . . . 81<br />
11.4.3 Starkes Gesetz der großen Zahlen für relative Häufigkeiten 82<br />
11.5 Empirische Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<br />
11.6 Das starke Gesetz der Großen Zahlen <strong>von</strong> Kolmogorov . . 83<br />
11.6.1 vereinfachte Form des Lemmas <strong>von</strong> Kronecker . . . 83<br />
11.6.2 Ungleichung <strong>von</strong> Kolmogorov . . . . . . . . . . . . 84<br />
11.6.3 Konvergenzkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
11.6.4 Das starke Gesetz der Großen Zahlen <strong>von</strong> Kolmogorov 87<br />
12 Verteilungskonvergenz und der zentrale Grenzwertsatz 89<br />
12.1 Verteilungskonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br />
12.1.1 Anwendung auf Summen unabhängiger Zufallsgrößen . 94<br />
iii
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