Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

• Man beachte zunächst: Falls D ein ∩-stabiles Dynkin-System ist, so ist D
schon σ-Algebra. Es gilt für D 1 , D 2 ∈ D, daß auch D1 c und D2 c ∈ D sind,
mit der ∩-Stabilität gilt D1 c ∩ D2 c ∈ D, also D 1 ∪ D 2 = (D1 c ∩ D2) c c ∈ D.
Per Induktion sind also alle endlichen Vereinigungen von Elementen
aus D wieder in D. Für abzählbare D 1 , D 2 , . . . ∈ D ist
((
⋃ ∞∑ n
) (
⋃
n−1
)) ⋃
D n = D j \ D j ∈ D
n=1 j=1
j=1
n∈N
• Zeige nun: δ(E) ist ∩-stabil und somit wie eben gezeigt auch σ-Algebra.
Sei E ∈ E. Definiere nun
Es gilt:
F E = {D ∈ δ(E) | D ∩ E ∈ δ(E)}
1. E ⊆ F E , da E ∩-stabil ist (d.h. für alle E ′ ∈ E ist E ′ ∩ E ∈ δ(E),
also in F E )
2. F E ist Dynkin-System 9 :
– ∅ und Ω liegen in F E
– mit D 1 , D 2 ∈ F E liegen auch (D 2 \D 1 )∩E = (D 2 ∩E)\(D 1 ∩
E) ∈ δ(E), also D 2 \ D 1 ∈ F E ,
– und für D 1 , D 2 , . . . paarweise disjunkt aus F E ist (∑ i∈N D i)
∩
E = ∑ i∈N (D i ∩ E) ∈ δ(E), also ∑ i∈N D i ∈ F E .
Dies liefert δ(E) ⊆ F E , d.h. E ∩ D ∈ δ(E) für alle E ∈ E und D ∈ δ(E).
Sei nun D ∈ δ(E), definiere analog
Dann gilt wieder:
F D = {D ′ ∈ δ(E) | D ′ ∩ D ∈ δ(E)}
1. E ⊆ F D , denn gemäß vorherigem gilt E ∩ D ∈ δ(E) für alle E ∈ E.
2. F ist Dynkin-System (wie eben)
Somit wieder δ(E) ⊆ F D , d.h. D ∩ D ′ ∈ δ(E) für alle D, D ′ ∈ δ(E).
• Schon gezeigt: δ(E) ⊆ σ(E), wie eben gezeigt gilt σ(E) ⊆ δ(E), insgesamt
also δ(E) = σ(E).
9 „Das ist so trivial wie es trivialer nicht gehen kann!“
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