Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

6.1.2 Dynkin-Systeme
Die Dynkin-Systeme entstanden zur Lösung der Schwierigkeiten in eben
gezeigtem Beweis.
Definition: D ⊆ P(Ω) heißt Dynkin-System, falls gilt:
• Ω ∈ D
• A, B ∈ D ⇒ B \ A ∈ D
• Für (A n ) n∈N paarweise disjunkt mit A n ∈ D, so ist ∑ n∈N A n ∈ D
Bemerkungen:
• Jede σ-Algebra ist ein Dynkin-System
• Definiere
δ(E) :=
⋂
E⊂D
D Dynkin−System
Dann ist δ(E) ein Dynkin-System mit δ(E) ⊆ σ(E).
Nun gilt im obigen Beweis:
(⋆⋆) C ist Dynkin-System, denn
1. Es sind ∅, Ω ∈ C, da P (∅) = 0 = Q(∅) und P (R) = 1 = Q(R) ist.
2. Mit A, B ∈ C und A ⊆ B ist B \ A ∈ D wegen P (B \ A) =
P (B) − P (A) = Q(B) − Q(A) = Q(B \ A).
3. Für (A n ) n∈N mit paarweise disjunkten A n ∈ C gilt
( )
( )
∑ ∑
A n A n
n∈N n∈N
P
= ∑ n∈N
D
P (A n ) = ∑ n∈N
Q(A n ) = Q
Daraus folgt δ(E) ⊆ C.
Damit ist obiger Satz gezeigt für δ(E) = σ(E). Beachte dazu folgenden Satz:
Satz: Die Menge E ⊆ P(Ω) sei ∩-stabil (d.h. mit A, B ∈ E sei auch
A ∩ B ∈ E). Dann gilt δ(E) = σ(E).
Beweis:
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