Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

6.1.1 Beweis der Eindeutigkeit
Beginne mit der Eindeutigkeitsaussage:
Satz: Seien P, Q Wahrscheinlichkeitsmaße auf R mit P ((−∞, t]) = Q((−∞, t])
für alle t ∈ R. Dann gilt P = Q, d.h. P (B) = Q(B) für alle B ∈ B.
Beweis: Definiere C = {B ∈ B | P (B) = Q(B)}. Zu zeigen ist: C = B.
Ausgehend von B = σ(E) (d.h. die kleinste σ-Algebra, die E umfaßt) genügt
zu zeigen:
(⋆) E ⊆ C
(⋆⋆) C ist σ-Algebra.
Es gilt:
(⋆) Es gilt (a, b] = (−∞, b] \ (−∞, a]. Also gilt:
P ((a, b]) = P ((−∞, b]) − P ((−∞, a])
= Q((−∞, b]) − Q((−∞, a])
= Q((a, b])
(⋆⋆) Es gelten alle Eigenschaften der σ-Algebra:
1. Es sind ∅, Ω ∈ C, da P (∅) = 0 = Q(∅) und P (R) = 1 = Q(R) ist.
2. Mit A ∈ C ist auch A C ∈ C, da mit P (A) = Q(A) ist auch
P (A c ) = 1 − P (A) = 1 − Q(A) = Q(A c ).
3. Für (A n ) n∈N mit A n ∈ C ist auch ⋃ n∈N A n ∈ C, denn:
P
( ⋃
n∈N
A n
)
= lim
n→∞
P (A n ) = lim
n→∞
Q(A n ) = Q
( ⋃
n∈N
A n
)
wobei o.B.d.A. (A n ) n∈N als wachsend angenommen wird.
Ganz so einfach geht’s aber nicht: Sei (A n ) n∈N gegeben mit ⋃ ⋃
n∈N A n =
n∈N B n mit B n = ⋃ k≤n
A monoton wachsend. Nun ist aber
P (A 1 ∪ A 2 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) − P (A 1 ∩ A 2 ). Aber was ist hier
Q(A 1 ∪ A 2 ) = Q(A 1 ) + Q(A 2 ) − Q(A 1 ∩ A 2 )? Also kann man das
„o.B.d.A.“ nicht einfach so verwenden.
Diese Eigenschaft läßt sich nicht direkt nachweisen, die Mathematik
mußte sich etwas einfallen lassen!
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