Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

6 Wahrscheinlichkeitsmaße auf R
Betrachtet wird in diesem Abschnitt stets R mit σ-Algebra B der Borelschen
Mengen. Dabei ist B = σ(E), wobei E = {(a, b] | a < b} ist.
6.1 Verteilungsfunktion
Definition: Sei P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf R, d.h. P : B → [0, 1].
Zu P wird definiert
F P : R → [0, 1] mit t ↦→ P ((−∞, t]) ∀ t ∈ R
Dann heißt F P Verteilungsfunktion zu P .
Die Verteilungsfunktion F P hat folgende Eigenschaften:
• sie ist monoton wachsend, denn für t 1 ≤ t 2 gilt P ((∞, t 1 ]) ≤ P ((∞, t 2 ])
• sie ist rechtsseitig stetig, denn für t n ↓ t gilt
( )
⋂
F P (t) = P ((−∞, t]) = P (−∞, t n ] = lim P ((−∞, t n ]) = lim F P (t n )
n→∞ n→∞
n
• lim t→−∞ F P (t) = 0, da für t n ↓ −∞ gilt:
( )
⋂
0 = P (∅) = P (−∞, t n ]
n
• analog lim t→+∞ F P (t) = 1, da für t n ↑ +∞ gilt:
= lim
n→−∞ F P (t n )
1 = P (R) = lim
n→∞
P ((−∞, t n ]) = lim
n→∞
F P (t n )
Definition: Eine Funktion F : R → [0, 1] mit den Eigenschaften
1. F ist monoton wachsend,
2. F ist rechtsseitig stetig,
3. es gilt lim t→−∞ F P (t) = 0 und lim t→+∞ F P (t) = 1
heißt Verteilungsfunktion.
Satz: Sei F Verteilungsfunktion. Dann existiert genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß
P auf R so, daß F = F P gilt, d.h. daß P die Verteilungsfunktion
F besitzt, d.h. F (t) = P ((−∞, t]) für alle t ∈ R.
Der Beweis erfolgt in mehreren Schritten:
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