Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

5.7.1 Exkurs: Stirling-Formel
Wir zeigen:
n! ∼ n √ n+ 1 2 e
−n
2π = √ ( n
) n
2πn
e
Es ist log n! = log 1 + . . . + log n. Wir benutzen die folgende Abschätzung, die
wegen der Konkavität der Logarithmus-Funktion gilt:
k+
∫
1 2
k− 1 2
log x dx ≤ log k ≤
∫
k+1
k
log x dx
Nun gilt:
n+
∫
1 2
log x dx ≤ log n! ≤
∫
n+1
log x dx
1
2
Durch Bilden der Stammfunktion x log x − x erhält man
(n + 1 (
2 ) log n + 1 )
− n − 1 ( ) 1
2 2 log ≤ log n! ≤ (n + 1) log (n + 1) − n
2
1
Es folgt daraus d n = log n! − ( n + 2) 1 log n + n ≥ −
1
log ( 1
2 2)
, also ist (dn ) n∈N
nach unten beschränkt. Weiter gilt:
(
d n − d n+1 = n + 1 ) ( ) n + 1
log − 1
2 n
=
∫ n+1
n
log x dx − 1 (log(n + 1) + log n) ≥ 0
2
Damit ist die Folge (d n ) n∈N monoton fallend, d.h. sie besitzt einen Grenzwert
τ = lim n→∞ d n , also
e τ = lim e log n!−(n+ 2) 1 log n+n n!
= lim
n→∞ n→∞ n n+ 1 2 e −n
Wir haben also gezeigt: Es exitiert γ mit
n! ∼ n n+ 1 2 e −n γ
Schwieriger ist zu zeigen, daß γ = √ 2π ist, der Beweis erfolgt hier nicht.
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