Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

5.4 Binomialverteilung
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß k Erfolge bei der Ber(n, p)-Verteilung
eintreten?
({
})
n∑
( n
(Ber(n, p)) ω
ω
∣ i = k = p
k)
k (1 − p) n−k
i=1
Die Binomialverteilung B(n, p) ist gegeben durch Ω = {0, 1, . . . , n} und
p(ω) = ( n
ω)
p ω (1 − p) n−ω für ω Erfolge bei n-facher Durchführung des Experiments.
5.4.1 Mehrfacher Münzwurf
Betrachte einen 100-fachen Münzwurf, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
daß genau 50 mal Kopf fällt? Es ist B(100, 0.5)(50) = ( )
100 1
. Dies liefert
50 2 100
die allgemeinere Frage nach einer Approximation für B(2n, 0.5)({n}). Es gilt
mit der Stirlingschen Formel n! ∼ √ 2πn ( )
n n:
e
B(2n, 0.5)({n}) = (2n)! 1
2(n!) 2
√ 2n
4nπ
≈
=
2 (√ 2nπ ( )
n n ) 1
2 2n
e
1
√ πn
5.5 Multinomialverteilung
Entsprechend zur Binomialverteilung B(n, p) ergibt sich die Multinomialverteilung
M(n, k, p 1 , . . . , p k ) aus der Ber(n, k, p 1 , . . . , p n )-Verteilung:
{
∣ }
∣∣∣∣ k∑
( ) k∏
Ω = ω ∈ {0, . . . , n} k n
ω i = n mit p(ω) =
p ω i
i
ω
i=1
1 , . . . , ω k
i=1
5.6 Geometrische Verteilung
Startend mit {0, 1} N Wiederholung von Münzwürfen. Frage nach der Wahrscheinlichkeit,
daß beim k-ten Wurf die 1 zum ersten Mal auftritt: p(k) =
(1 − p) k−1 p, die geometrische Verteilung Geo(p) ist gegeben durch Ω = N
und p(ω) = (1 − p) ω−1 p. Die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, daß beim
k-ten Wurf zum ersten Mal n-mal auftritt: gegeben durch p(k) = pp n−1 (1 −
p) k−1−(n−1)( n−1
k−1)
, d.h. die Verteilung G(n, p) ist gegeben durch Ω = N und
p(ω) = ( ω−1
n−1)
p n (1 − p) ω−n .
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