Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

5 Diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße
Wahrscheinlichkeitsmaße werden auch oft als Wahrscheinlichkeitsverteilungen
oder einfach Verteilungen bezeichnet (englisch probability measure, (probability)
distribution).
Definition: Sei Ω abzählbar, A = P(Ω), P sei Wahrscheinlichkeitsmaß.
Dann heißt (Ω, A, P ) diskreter Wahrscheinlichekeitsraum, P diskretes Wahrscheinlichkeitsmaß.
Für jedes A ⊆ Ω gilt A = ∑ ω∈A {ω}, also P (A) = ∑ ω∈A
P ({ω}). Sei definiert
p(ω) = P ({ω}) für ω ∈ Ω, bezeichne (p(ω)) ω als stochastischen Vektor zu P ,
damit ist P (A) = ∑ ω∈Ω p(ω).
Jedes diskrete Wahrscheinlichkeitsmaß ist eindeutig bestimmt durch den
dazugehörigen stochastischen Vektor.
5.1 Laplace-Verteilung
Für eine endliche Menge Ω ist gegeben durch p(ω) = 1
|A|
, also P (A) = .
|Ω| |Ω|
5.1.1 Das Geburtstagsproblem
Sei Ω = {1, . . . , N} n mit N = 365 für das Geburtstagsproblem („Mit welcher
Wahrscheinlichkeit haben zwei Personen in einem Raum mit n Personen
am gleichen Tag Geburtstag?“) und n = 60 für die Stochastik-1-Studenten,
betrachte vereinfacht eine Laplace-Verteilung. Dann ist für ω = (ω 1 , . . . , ω n )
p(ω) = 1
N n . Betrachte also
Damit ist
A = {ω ∈ Ω | ∃ (i, j) : (ω i = ω j ) ∧ (i ≠ j)}
A c = {ω ∈ Ω | ω i ≠ ω j ∀ i ≠ j}
P (A) = 1 − P (A c N(N − 1) . . . (N − (n − 1)
) = 1 −
N n
=
N!
1 −
(N − n)!N = 1 − 365!
n 305! · 365 60
Es ergeben sich folgende Werte:
n 5 10 30 60
P (A) 2.7% 11.7% 70.6% 99.4%
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