Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

5.6 Geometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.7 Poisson-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.7.1 Exkurs: Stirling-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Wahrscheinlichkeitsmaße auf R 30
6.1 Verteilungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.1.1 Beweis der Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.1.2 Dynkin-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.1.3 Beweis der Eindeutigkeit (korrekt) . . . . . . . . . . . 34
6.1.4 Bierdeckelexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.1.5 Beweis der Existenzaussage . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten unter Benutzung von
Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.3 Wahrscheinlichkeitsmaße mit stetigen Dichten . . . . . . . . . 37
6.3.1 Rechtecksverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3.2 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3.3 Gammaverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.3.4 eine ungewöhnliche Verteilungsfunktion . . . . . . . . . 39
7 Zufallsvariablen 41
7.1 Bezeichnungsweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2 Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.3 Eigenschaften von meßbaren Abbildungen . . . . . . . . . . . 42
7.4 Meßbare Abbildungen mit endlichem Wertebereich . . . . . . 43
7.4.1 Beweismethodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.4.2 Praktische Erwägungen zur Verteilung von Zufallsgrößen 46
8 Erwartungswerte und Integral 47
8.1 Untersuchung eines Algorithmus’ . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.2 Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.2.1 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.2.2 Monotonie und Linearität . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.3 Das allgemeine Maßintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.3.1 Satz von der monotonen Konvergenz . . . . . . . . . . 53
8.3.2 Wahrscheinlichkeitsmaße mit Dichten - der allgemeine
Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.3.3 Lebesgue-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.3.4 Integration bzgl. durch Dichten definierte Wahrscheinlichkeitsmaße
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8.3.5 Integration bzgl. der Verteilung von Zufallsvariablen . . 60
8.3.6 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
ii