Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole KÃ¼rtz

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• Induktionsanfang: K = ∅ ist klar nach Definition der stochastischen Unabhängigkeit. • Induktionsvoraussetzung: Es gelte für jedes endliche K mit |K| = n und jedes endliche J die Behauptung. • Induktionsschritt: Sei K ⊆ I, |K| = n + 1 und J ⊆ I endlich. Sei k 0 ∈ K und K ′ = K \ {k 0 }. Dann ist ( ⋂ P A j ∩ ⋂ ) A c k j∈J k∈K ( ⋂ = P A j ∩ A c k 0 ∩ ⋂ ) A c k j∈J k∈K ( ′ ⋂ = P A j ∩ ⋂ ) (( ⋂ A c k − P A j ∩ ⋂ ) ) A c k ∩ A k0 j∈J k∈K ′ j∈J k∈K ′ = ∏ P (A j ) · ∏ P (A c k) − ∏ P (A j )P (A k0 ) · ∏ P (A c k) j∈J k∈K ′ j∈J k∈K ′ = ∏ P (A j ) ∏ P (A c k) (1 − P (A k0 )) } {{ } j∈J k∈K ′ P (A c k ) } {{ 0 } ∏ k∈K P (Ac k ) 4.2.3 Das Werfen einer Münze Betrachte das wiederholte Werfen einer Münze, dann ist Ω = {0, 1} N , wobei 0 Kopf und 1 Zahl sei. Als σ-Algebra ist P(R) nicht möglich für eine sinnvolle Wahrscheinlichkeitsdefinition, da dies „in gewisser Weise“ äquivalent ist zur Einführung des Längenbegriffs in R. Die Definition der „richtigen“ σ-Algebra erfolgt in der folgenden Weise: Zu endlichen I ⊆ N wähle z = (z i ) i∈I ∈ {0, 1} I und setze B z = { ω ∈ {0, 1} N ∣ ∣ ωi = z i ∀ i ∈ I } Als Erzeugendensystem wird nun betrachtet E := { B z | I ⊆ N endlich, z ∈ {0, 1} I} . Als Wahrscheinlichkeit gilt nun P (B z ) = 2 −|I| . Der Satz <strong>von</strong> Carathéodory liefert, daß genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf Ω = {0, 1} N existiert mit A = σ(E) mit der Eigenschaft P (B z ) = 2 −|I| für endliche I ⊆ N mit z ∈ {0, 1} I . Sei nun A i das Ereignis im i-ten Wurf Kopf, dann ist P (A i ) = 1 und 2 n∏ P (A i1 ∩ . . . ∩ A in ) = 2 −n = P (A ij ) 23 j=1
Das Borel-Cantelli-Lemma liefert 7 P (lim sup n A n ) = 1 (d.h. die Wahrscheinlichkeit für unendlich oft Kopf), da ∑ ∞ n=1 P (A n) = ∞ und (A n ) n∈N stochastisch unabhängig. 7 „. . . Goethes gesammelte Werke - oder noch was viel Schlimmeres, z.B. das Microsoft- Word-2000-Handbuch! “ 24
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Seite 3 und 4: 5.6 Geometrische Verteilung . . . .
Seite 5 und 6: 12.1.2 Methodik zum Beweis des zent
Seite 7 und 8: Wir geben einen festen Top (b 1 , .
Seite 9 und 10: • Der Winkel ϕ ∈ [− π, π )
Seite 11 und 12: 2 Wahrscheinlichkeitsräume Ziel is
Seite 13 und 14: möglichen Ergebnisse Ω, einem Sys
Seite 15 und 16: Satz: Ω sei eine Menge, E ⊂ P(Ω
Seite 17 und 18: 3 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Seite 19 und 20: Für N = 5 ist P (B 0 ) = 36.7%, be
Seite 21 und 22: 1. Da (A i ) i∈N wachsend ist, gi
Seite 23 und 24: ¨ ¨ ¨ ¨ ¢ 4 Bedingte Wahrschei
Seite 25 und 26: 4.1.1 Aussagekraft von medizinische
Seite 27: Beweis: Es gilt: (( ) c ) P lim sup
Seite 31 und 32: 5.2 Hypergeometrische Verteilung Qu
Seite 33 und 34: 5.7 Poisson-Verteilung −β βω F
Seite 35 und 36: 6 Wahrscheinlichkeitsmaße auf R Be
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Seite 39 und 40: 6.1.3 Beweis der Eindeutigkeit (kor
Seite 41 und 42: Falls diese Fragen mit ja! beantwor
Seite 43 und 44: Die Normalverteilung (Gaußverteilu
Seite 45 und 46: Die Cantormenge hat die Eigenschaft
Seite 47 und 48: X -1 (B) X B (Ω, , P) (¡ , ¢ , P
Seite 49 und 50: Ω A 1 A n A 2 A 3 X { α 1 , α 2
Seite 51 und 52: 7.4.2 Praktische Erwägungen zur Ve
Seite 53 und 54: Als mittleren Wert betrachtet man d
Seite 55 und 56: 8.2 Erwartungswert Definition: Sei
Seite 57 und 58: (b) Für a, b ∈ R gilt E(aX + bY
Seite 59 und 60: Es gilt für jedes i = 1, . . . , n
Seite 61 und 62: (c) Es ist X + Y = X + − X − +
Seite 63 und 64: folgt: ∑ ∫ n A n X dµ = lim k
Seite 65 und 66: 8.3.4 Integration bzgl. durch Dicht
Seite 67 und 68: 8.4 Varianz Der Erwatungswert ist a
Seite 69 und 70: 9 Momente und stochastische Ungleic
Seite 71 und 72: 9.2.2 Jensensche Ungleichung Satz:
Seite 73 und 74: die Verteilung von X = X 1 + X 2 ?
Seite 75 und 76: Es ist P ((X 1 , X 2 ) ∈ A) = E(1
Seite 77 und 78: 10.2.2 Summe zweier unabhängiger Z
Seite 79 und 80:
10.2.4 Die Varianz der Summen von Z
Seite 81 und 82:
Sei nun X i = 1 {1} (Y i ) (d.h. nu
Seite 83 und 84:
Und für relative Häufigkeiten bei
Seite 85 und 86:
Dies ist wieder eine Umformulierung
Seite 87 und 88:
Beweis: Beachte zunächst mit der J
Seite 89 und 90:
Nun gilt mit dem Grenzwertsatz von
Seite 91 und 92:
Einschub: Konvergenzkriterium für
Seite 93 und 94:
Setze weiter S n = ∑ n i=1 Y i. D
Seite 95 und 96:
Definition: Seien Z, Z 1 , Z 2 , .
Seite 97 und 98:
Es gilt 1 {U∈Z c } · g(Fn −1 (
Seite 99 und 100:
4. Zusammenfügen der ersten drei S
Seite 101:
Achtung! Hier fehlt noch das Ende d
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