Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

• Induktionsanfang: K = ∅ ist klar nach Definition der stochastischen
Unabhängigkeit.
• Induktionsvoraussetzung: Es gelte für jedes endliche K mit |K| = n
und jedes endliche J die Behauptung.
• Induktionsschritt: Sei K ⊆ I, |K| = n + 1 und J ⊆ I endlich. Sei
k 0 ∈ K und K ′ = K \ {k 0 }. Dann ist
( ⋂
P A j ∩ ⋂ )
A c k
j∈J k∈K
( ⋂
= P A j ∩ A c k 0
∩ ⋂ )
A c k
j∈J
k∈K
( ′ ⋂
= P A j ∩ ⋂ ) (( ⋂
A c k − P A j ∩ ⋂ ) )
A c k ∩ A k0
j∈J k∈K ′ j∈J k∈K ′
= ∏ P (A j ) · ∏
P (A c k) − ∏ P (A j )P (A k0 ) · ∏
P (A c k)
j∈J
k∈K ′ j∈J
k∈K ′
= ∏ P (A j ) ∏
P (A c k) (1 − P (A k0 ))
} {{ }
j∈J k∈K ′ P (A c k )
} {{
0
}
∏
k∈K P (Ac k )
4.2.3 Das Werfen einer Münze
Betrachte das wiederholte Werfen einer Münze, dann ist Ω = {0, 1} N , wobei
0 Kopf und 1 Zahl sei. Als σ-Algebra ist P(R) nicht möglich für eine sinnvolle
Wahrscheinlichkeitsdefinition, da dies „in gewisser Weise“ äquivalent ist zur
Einführung des Längenbegriffs in R. Die Definition der „richtigen“ σ-Algebra
erfolgt in der folgenden Weise: Zu endlichen I ⊆ N wähle z = (z i ) i∈I ∈ {0, 1} I
und setze
B z = { ω ∈ {0, 1} N ∣ ∣ ωi = z i ∀ i ∈ I }
Als Erzeugendensystem wird nun betrachtet E := { B z | I ⊆ N endlich, z ∈ {0, 1} I} .
Als Wahrscheinlichkeit gilt nun P (B z ) = 2 −|I| . Der Satz von Carathéodory
liefert, daß genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf Ω = {0, 1} N existiert
mit A = σ(E) mit der Eigenschaft P (B z ) = 2 −|I| für endliche I ⊆ N mit
z ∈ {0, 1} I .
Sei nun A i das Ereignis im i-ten Wurf Kopf, dann ist P (A i ) = 1 und 2
n∏
P (A i1 ∩ . . . ∩ A in ) = 2 −n = P (A ij )
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j=1