Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Beweis: Es gilt:
(( ) c )
P lim sup A n
n
(( ) c )
⋂ ⋃
= P A k
n∈N k≥n
( ) ⋃ ⋂
= P A c k
n∈N k≥n
≤ ∑ ( ) ⋂
P A c k
n∈N k≥n
= ∑ ( m
)
⋂
lim P A c m→∞
k
n∈N m≥n k=n
} {{ }
Es genügt also zu zeigen, daß der hintere Teil gleich 0 ist. Es gilt (mit
der Voraussetzung der stochastischen Unabhängigkeit und der Abschätzung
1 − x ≤ e −x ):
(
⋂ m
)
m∏
lim
m→∞
m≥n
P
k=n
A c k
= lim
≤
≤
m→∞
m≥n
lim
m→∞
m≥n
lim
m→∞
m≥n
k=n
m∏
k=n
e − ∑ m
(1 − P (A n ))
−P (An)
e
k=n P (An) = 0
In diesem Beweis wurde die (noch nicht bewiesene) Aussage benutzt, daß
mit der Unabhängigkeit der Ereignisse ebenfalls die Unabhängigkeit der
Komplemente vorliegt. Betrachtet man zunächst die Ereignisse, so ergibt sich
P (A∩B c ) = P (A)−P (A∩B) = P (A)−P (A)·P (B) = P (A)(1−P (B)) = P (A)P (B c )
Satz: Sei (A i ) i∈I eine Familie von stochastisch unabhängigen Ereignissen.
Dann gilt für alle endlichen J, K ⊆ I mit J ∩ K = ∅:
(( ) ( ))
⋂ ⋂
P A j ∩ A c k = ∏ P (A j ) · ∏
P (A c k)
j∈J j∈J
k∈K
k∈K
Beweis: mit Induktion über |K|.
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