Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

• Beim Ziehen ohne Zurücklegen: P ({(w, w)}) = k · k−1 , P ({(w, g)}) =
n n−1
k · l
, P ({(g, w)}) = l · k
, P ({(g, g)}) = l · l−1
n n−1 n n−1 n n−1
Seien nun die Ereignisse A als weiß im ersten Zug und B als weiß im zweiten
Zug definiert, d.h. A = {(w, w), (w, g)} und B = {(w, w), (g, w)}. Es gilt
P (A ∩ B) = {(w, w)}.
• Mit Zurücklegen ergibt sich:
P (A) = k n · k
n + k n · l
n = k n
P (B) = k n · k
n + l n · k
n = k n
P (A ∩ B) = k n · k
n
• Ohne Zurücklegen kommt heraus:
= P (A) · P (B)
P (A) = k n · k − 1
n − 1 + k l
n n − 1 = k n
P (B) = k n · k − 1
l − 1 + l l
n n − 1 = k n
P (A ∩ B) = k k − 1 ≠ P (A)P (B)
n n − 1
4.2.2 Verallgemeinerung der Definition
Definition: Sei (A i ) i∈I eine Familie von Ereignissen. Diese wird als
stochastisch unabhängig bezeichnet, falls gilt:
( ) ⋂
A j
j∈J
P
= ∏ j∈J
P (A j ) ∀ J ⊆ I
Satz: Sei (A n ) n∈N eine Folge von Ereignissen, die stochastisch unabhängig
sind. Dann gilt:
∑
( )
P (A n ) = ∞ ⇒ P lim sup A n = 1
n
n∈N
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