Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

4.1.1 Aussagekraft von medizinischen Testverfahren
Eine Person hat sich einem Test zur Früherkennung unterzogen und das Ergebnis
ist positiv. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Erkrankung vor? Sei
P (K) = p die Wahrscheinlichkeit des Auftretens in der Bevölkerungsgruppe
und P (N) = 1 − p. Die Wahrscheinlichkeit für eine positive Diagnose bei
tatsächlicher Erkrankung sei P (DP |K) = q 1 , die Wahrscheinlichkeit für eine
(falsche) positive Diagnose bei gesunden Personen sei P (DP |N) = q 2 (d.h.
q 1 und q 2 sind die Güteparameter für das Testverfahren). Anwendung der
Formel von Bayes liefert:
P (K|DP ) =
P (DP |K)P (K)
P (DP |K)P (K) + P (DP |N)P (N) =
q 1 p
q 1 p + q 2 (1 − p)
Im Beispiel eines Tests für HIV-Infektionen ist q 1 = 0.998 und q 2 = 0.002, die
Wahrscheinlichkeit hängt dann stark von p ab:
1,0
0,5
P(K|DP)
0,0001 0,001 p 0,01 0,1
4.2 Stochastische Unabhängigkeit
Definition: Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, falls
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
Daraus folgt (falls P (A) und P (B) größer 0) P (A|B) = P (A) und P (B|A) =
P (B).
4.2.1 Ziehen mit und ohne Zurücklegen
In einer „Urne“ seien k weiße und l grüne Kugeln, d.h. insgesamt n = k + l.
Es wird zwei mal gezogen, damit ist Ω = {(w, w), (g, w), (w, g), (g, g)}.
• Beim Ziehen mit Zurücklegen: P ({(w, w)}) = k · k , P ({(w, g)}) =
n n
P ({(g, w)}) = k · l , P ({(g, g)}) = l · l
n n n n
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