Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

und der Kandidat erhält die Möglichkeit zu wechseln. Soll er wechseln?
Ja, wenn er wechselt, gewinnt er mit der Wahrscheinlichkeit 2! Einfache
3
Argumentation: Wenn er zu Anfang eine Ziege trifft (Wahrscheinlichkeit
2), so muß der Quizmaster die andere Ziege zeigen und der Kandidat
3
wechselt zum Auto!
Empfehlung: G. v. Randow: „Das Ziegenproblem“(rororo) und N. Henze:
„Stochastik für Einsteiger“(vieweg)
4.1 Rechenregeln für bedingte Wahrscheinlichkeiten
1. Nach Definition gilt
P (A ∩ B) = P (A|B) · P (B)
2. Wegen P ( ⋂ n
i=1 A i) = P ( A n ∩ ⋂ n−1
i=1 A ) (
i = P An | ⋂ n−1
i=1 A (⋂
i
)·P n−1
i=1 A )
i
gilt
( n
) ( ∣ )
⋂
∣∣∣∣ n−1
⋂
P A i = P (A 1 )P (A 2 |A 1 )P (A 3 |A 1 ∩ A 2 ) · . . . · P A n A i
i=1
3. Seien A 1 , . . . , A n disjunkte Ereignisse mit ∑ n
i=1 A i = Ω. Dann gilt für
jedes Ereignis A:
n∑
P (A) = P (A|A i )P (A i )
i=1
denn ∑ n
i=1 P (A|A i)P (A i ) = ∑ n
i=1 P (A ∩ A i) = P ( ∑ n
i=1 (A ∩ A i)) =
P (A ∩ ∑ n
i=1 A i) = P (A).
4. Seien A 1 , . . . , A n wieder disjunkte Ereignisse mit ∑ n
i=1 A i = Ω. Dann
gilt für jedes Ereignis A und j = 1, . . . , n die Formel von Bayes:
P (A j |A) = P (A|A j)P (A j )
∑ n
i=1 P (A|A i)P (A i )
i=1
denn auf der rechten Seite liegt vor: P (A∩A j)
P (A)
.
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