Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

3.3.2 Borell-Cantelli-Lemma
Satz: Sei (A i ) i∈N eine Folge von Ereignissen. Dann gilt:
1.
P
( ⋃
i∈N
A i
)
≤ ∑ i∈N
P (A i )
2.
( )
P lim sup A i = 0 falls ∑ P (A i ) < ∞
i∈N
i∈N
Beweis:
1. Für A 1 , . . . , A n gilt stets P ( ⋃ n
i=1 A i) ≤ ∑ n
i=1 P (A i), wie man mit Induktion
sofort einsieht:
( n+1
) ( ⋃ n
) ((
⋃
n
) )
⋃
P A i = P A i + P (A n+1 ) − P A i ∩ A n+1
i=1
i=1
i=1
( n
)
⋃
≤ P A i + P (A n+1 )
=
i=1
n+1
∑
P (A i )
i=1
Es folgt mit B i = ⋃ i
k=1 A k (aufsteigend):
∞⋃
∞⋃
P ( A i ) = P ( B i )
i=1
i=1
= lim
i→∞
P (B i ) = lim
i→∞
P
≤
lim
i→∞
i∑
P (A k ) =
k=1
( i⋃
k=1
A k
)
∞∑
P (A i )
2. Für lim sup A i = ⋂ ∞ ⋃
n=1 i≥n B i mit ⋃ i≥n B i fallend in n, also ist
(
( ) ⋃
A i
i≥n
P
)
lim sup A i = lim P
i→∞
n→∞
i=1
≤ lim
n→∞
Dabei geht ∑ ∞
i=n P (A i) gegen 0, falls es konvergiert.
∞
∑
i=n
P (A i )
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