Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

1. Da (A i ) i∈N wachsend ist, gilt
⋃
A i = A 1 + (A 2 \ A 1 ) + (A 3 \ A 2 ) + . . . + (A n \ A n−1 ) + . . .
} {{ }
i∈N
A n
∞∑
= A 1 + (A i \ A i−1 )
P
2. Es gilt
( ⋃
i∈N
A i
)
P
i=2
= P (A 1 ) +
∞∑
P (A i \ A i−1 )
i=2
= P (A 1 ) + lim
n→∞
= lim
n→∞
P (A n )
( ⋂
i∈N
A i
)
= 1 − P
n∑
P (A i \ A i−1 )
i=2
(( ⋂
i∈N
A i
) c )
= 1 − P
( ⋃
(A c i)
i∈N
Da (A i ) i∈N fallend ist, ist (A c i) i∈N monoton wachsend und mit eben
gezeigtem ersten Teil ergibt sich
( ) ⋂
A i
i∈N
P
3.3.1 Cantor-Menge
= 1 − lim
n→∞
P (A c n) = 1 − lim
n→∞
(1 − P (A n )) = lim
n→∞
P (A n )
Sei K 0 = [0, 1], K 1 = [0, 1 3 ] ∪ [ 2 3 , 1], . . . und K n ergibt sich aus K n−1 durch
Entfernen der mittleren Drittel, wobei die Randpunkte nicht entfernt werden 6 :
)
K 0
K 1
Die Cantor-Menge C ist definiert als C := ⋂ ∞
n=0 K n, wobei (K n ) n∈N eine
fallende Menge bildet. Mit obigem Satz ergibt sich
λ(C) = λ
( ∞
⋂
n=0
K 2
K n
)
= lim
n→∞
λ(K n ) = lim
n→∞
( 2
3
) n
= 0
Die Menge C ist jedoch überabzählbar, so daß wir eine überabzählbare Menge
mit Lebesgue-Maß 0 gefunden haben!
6 „. . . können Sie ja formal aufschreiben, wenn Sie Lust haben!“
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