Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

3.3 Unendliche Folgen von Ereignissen
Sei (A i ) i∈N eine Folge von Ereignissen. Von Interesse sind (die Beispiele
beziehen sich auf eine Folge von Würfel-Würfen mit A i als Ereignis, daß 1
geworfen wird):
Ereignis
⋃
Ergebnis liegt... Beispiel
⋂i∈N A i in mindestens einem A i mindestens eine 1 geworfen
i∈N A i in allen A i sämtliche Würfe 1
lim sup A i = ⋂ ⋃
i∈N n≥i An in unendlich vielen A i unendlich viele 1 geworfen
lim inf A i = ⋃ ⋂
i∈N n≥i An in allen bis auf endlich viele A i ab irgednwann nur noch 1
Um solche Ereignisse mit Wahrscheinlichkeiten zu versehen, benötigen wir
die folgende Eigenschaft für abzählbar-unendliche disjunkte Vereinigungen:
( ) ∑
A i
i∈N
P
= ∑ i∈N
P (A i )
Satz: Sei (A i ) i∈N eine Folge von Ereignissen. Dann gilt:
1. Falls (A i ) i∈N monoton wachsend ist (A i ⊆ A i+1 ), so gilt
( ) ⋃
A i
i∈N
P
= lim
n→∞
P (A n )
2. Falls (A i ) i∈N monoton fallend ist (A i ⊇ A i+1 ), so gilt
( ) ⋂
A i
i∈N
P
= lim
n→∞
P (A n )
Beweis:
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