Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Für N = 5 ist P (B 0 ) = 36.7%, bei N = 10 ist es 36.788%.
Alternative Möglichkeit: Betrachte Abhängigkeit in N: Sei d N die Anzahl
der Permutationen ohne Fixpunkte zu (1, . . . , N). Offensichtlich ist d 1 =
0, d 2 = 1, d 3 = 2. Versuch: Finde eine Rekursion, d.h. suche d N durch
d N−1 , . . . , d N−k (mit k unabhängig von N!) auszudrücken:
Weitere Auswertung:
d N = (N − 1) · |{σ | σ fixpunktfrei, σ(1) = 2}|
= (N − 1) · (d N−2 + d N−1 )
d N − N · d N−1 = (−1)(d N−1 − (N − 1)d N−2 )
= (−1)(−1)(d N−2 − (N − 2)d N−3 )
= (−1)(−1)(−1)(d N−3 − (N − 3)d N−3 )
= (−1) N (d 2 − 2d 1 ) = (−1) N
Damit ist d N = Nd N−1 + (−1) N , Lösung also
(
d N = N! · 1 − 1 1! + 1 2! − . . . + 1 )
(−1)N N!
Es bleibt zu bestimmen: P (B k ) für k = 1, . . . , N. Es ist
B k = {σ | |{i | σ i = i}| = k}
∑
=
{σ | σ(i j ) = i j ∀ j = 1, . . . , k; σ(j) ≠ j sonst}
|B k | =
P (B k ) = 1 N!
= 1 N!
1≤i 1