Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Die Rechenregeln gelten für allgemeine Maße, falls „∞ − ∞“ nicht auftritt.
3.2 Modellierung eines parapsychologischen Experiments
Betrachtet 5 seien die Zahlen 1, . . . , N in einer Anordnung π = (π 1 , . . . , π N ),
d.h. betrachtet wird eine spezifische Permutationen der Zahlen 1, . . . , N
Zufällig wird eine weitere Permutation σ = (σ 1 , . . . , σ n ) gewählt, wobei jede
Permutation σ gleichwahrscheinlich sei, d.h. P (A) = |A| . N!
Also ist Ω = {σ | σ Permutation von (1, . . . , N)}, A = P(Ω) und P (A) =
|A|
= |A| für A ∈ A. Die Frage nach der Wahrscheinlicheit von
|Ω| N!
B k = {σ | |{i | σ i = π i }| = k}
für alle k = 0, . . . , N. Ohne Einschränkung sei π = (1, . . . , N). Falls σ i = i,
so nennt man i einen Fixpunkt von σ, d.h.
B k = {σ | σ besitzt k Fixpunkte}
Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit keiner Übereinstimmung? Es ist
B 0 = {σ | σ(i) ≠ i ∀ i} und
B c 0 = {σ | ∃ i ∈ {1, . . . , N} : σ(i) = i} =
Anwendung der Rechenregeln liefert
N⋃
{σ | σ(i) = i}
i=1
( N
)
⋃
P (B0) c = P A i =
i=1
N∑
∑
(−1) k+1
P (A i1 ∩ . . . ∩ A ik )
k=1
1≤i 1