Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole KÃ¼rtz

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

Der Satz beinhaltet die Existenz- und die Eindeutigkeitsaussage. Letzere benutzt eine Beweismethode <strong>von</strong> Wichtigkeit für die Wahrscheinlichkeitstheorie („Dynken-Systeme“), folgt später. Der Beweis der Existenzaussage (<strong>von</strong> Carathéodory 1914)als Skizze (ausführlich in jedem Buch über Maßtheorie): Beweis: Starte mit einem Halbring H (Beispiel: E k ) und einer Abbildung ν : H → [0, ∞) mit den Eigenschaften ν(∅) = 0, aus A ⊆ B folgt ν(A) ≤ ν(B) und ν ( ∑ n i=1 A i) = ∑ n i=1 ν(A i) für A 1 , . . . , A n ∈ H mit ∑ n i=1 A i ∈ H. Definiere zu ν eine Abbildung ν ∗ : P(Ω) → [0, ∞] mit { ∑ ν ∗ : A ↦→ inf ν(A i ) ∣ (A i) i∈N ∈ H N mit A ⊆ ⋃ } A i i∈N i∈N Lemma: In der obigen Situation gilt ν ∗ (∅) = 0, ν ∗ (A) ≤ ν ∗ (B) für A ⊆ B und ν (⋃ ∗ n∈N A ) ∑ n ≤ n∈N ν∗ (A n ). Damit heißt ν ∗ äußeres Maß. Satz: Sei ν ∗ äußeres Maß. Sei A = {A ⊆ Ω | ν ∗ (B) = ν ∗ (B ∩ A) + ν ∗ (B ∩ A c ) ∀ B ⊆ Ω} Dann gilt: A ist σ-Algebra und ν ∗ | A ist ein Maß. Mit dieser Vorgehensweise erhält man das Lebesguesche Maß λ k : 1. Starte mit Halbring E k , definiere λ k ((a, b]) = ∏ k i=1 (b i − a i ). 2. Definiere zu ν = λ k das äußere Maß ν ∗ . 3. Betrachte A (Carathéodory) zu ν ∗ , beachte dabei σ(E k ) ⊆ A 4. Definiere λ k = ν ∗ | B k 11
3 Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 3.1 Rechenregeln für Wahrscheinlichkeitsmaße Diese Regeln basieren auf σ-Additivität P ( ∑ i∈I A i) = ∑ i∈I P (A i) für abzählbar viele, disjunkte A i . • P (A c ) = 1 − P (A) • A ⊆ B ⇒ P (B) = P (A) + P (B \ A) • für zwei Mengen: P (A ∪ B) = P (A \ (A ∩ B)) + P (B \ (A ∩ B)) + P (A ∩ B) für drei Mengen: = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) − P (A ∩ C) + P (C) für n Mengen: P (A 1 ∪ . . . ∪ A n ) = −P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) n∑ (−1) k+1 k=1 ∑ (i 1 ,...,i k ) 1≤i 1
Seite 1 und 2: Stochastik 1 Mitschrift von www.kue
Seite 3 und 4: 5.6 Geometrische Verteilung . . . .
Seite 5 und 6: 12.1.2 Methodik zum Beweis des zent
Seite 7 und 8: Wir geben einen festen Top (b 1 , .
Seite 9 und 10: • Der Winkel ϕ ∈ [− π, π )
Seite 11 und 12: 2 Wahrscheinlichkeitsräume Ziel is
Seite 13 und 14: möglichen Ergebnisse Ω, einem Sys
Seite 15: Satz: Ω sei eine Menge, E ⊂ P(Ω
Seite 19 und 20: Für N = 5 ist P (B 0 ) = 36.7%, be
Seite 21 und 22: 1. Da (A i ) i∈N wachsend ist, gi
Seite 23 und 24: ¨ ¨ ¨ ¨ ¢ 4 Bedingte Wahrschei
Seite 25 und 26: 4.1.1 Aussagekraft von medizinische
Seite 27 und 28: Beweis: Es gilt: (( ) c ) P lim sup
Seite 29 und 30: Das Borel-Cantelli-Lemma liefert 7
Seite 31 und 32: 5.2 Hypergeometrische Verteilung Qu
Seite 33 und 34: 5.7 Poisson-Verteilung −β βω F
Seite 35 und 36: 6 Wahrscheinlichkeitsmaße auf R Be
Seite 37 und 38: 6.1.2 Dynkin-Systeme Die Dynkin-Sys
Seite 39 und 40: 6.1.3 Beweis der Eindeutigkeit (kor
Seite 41 und 42: Falls diese Fragen mit ja! beantwor
Seite 43 und 44: Die Normalverteilung (Gaußverteilu
Seite 45 und 46: Die Cantormenge hat die Eigenschaft
Seite 47 und 48: X -1 (B) X B (Ω, , P) (¡ , ¢ , P
Seite 49 und 50: Ω A 1 A n A 2 A 3 X { α 1 , α 2
Seite 51 und 52: 7.4.2 Praktische Erwägungen zur Ve
Seite 53 und 54: Als mittleren Wert betrachtet man d
Seite 55 und 56: 8.2 Erwartungswert Definition: Sei
Seite 57 und 58: (b) Für a, b ∈ R gilt E(aX + bY
Seite 59 und 60: Es gilt für jedes i = 1, . . . , n
Seite 61 und 62: (c) Es ist X + Y = X + − X − +
Seite 63 und 64: folgt: ∑ ∫ n A n X dµ = lim k
Seite 65 und 66: 8.3.4 Integration bzgl. durch Dicht
Seite 67 und 68:
8.4 Varianz Der Erwatungswert ist a
Seite 69 und 70:
9 Momente und stochastische Ungleic
Seite 71 und 72:
9.2.2 Jensensche Ungleichung Satz:
Seite 73 und 74:
die Verteilung von X = X 1 + X 2 ?
Seite 75 und 76:
Es ist P ((X 1 , X 2 ) ∈ A) = E(1
Seite 77 und 78:
10.2.2 Summe zweier unabhängiger Z
Seite 79 und 80:
10.2.4 Die Varianz der Summen von Z
Seite 81 und 82:
Sei nun X i = 1 {1} (Y i ) (d.h. nu
Seite 83 und 84:
Und für relative Häufigkeiten bei
Seite 85 und 86:
Dies ist wieder eine Umformulierung
Seite 87 und 88:
Beweis: Beachte zunächst mit der J
Seite 89 und 90:
Nun gilt mit dem Grenzwertsatz von
Seite 91 und 92:
Einschub: Konvergenzkriterium für
Seite 93 und 94:
Setze weiter S n = ∑ n i=1 Y i. D
Seite 95 und 96:
Definition: Seien Z, Z 1 , Z 2 , .
Seite 97 und 98:
Es gilt 1 {U∈Z c } · g(Fn −1 (
Seite 99 und 100:
4. Zusammenfügen der ersten drei S
Seite 101:
Achtung! Hier fehlt noch das Ende d
Alle anzeigen

Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole KÃ¼rtz

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?