Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Satz: Ω sei eine Menge, E ⊂ P(Ω). Definiere
⋂
σ(E) := A
E⊂A
A σ−Algebra
Dann ist σ(E) eine σ-Algebra, und für jede σ-Algebra A mit E ⊂ A ist
A ⊃ σ(E), d.h. σ(E) ist die kleinste σ-Algebra, die E umfaßt.
Beweis: Folgt sofort aus der Definition. Als Erzeugendensystem der Borelschen
σ-Algebra wird E k benutzt:
E k = { (a, b] | a, b ∈ R k ; a ≤ b }
Mit a = (a 1 , . . . , a k ) und b = (b 1 , . . . , b k ) ist dabei
(a, b] := {x | a i < x i ≤ b i ∀ i = 1, . . . , k}
Ein Erzeugendensystem E k hat folgende Eigenschaften:
• Es ist ist ∩-stabil: A, B ∈ E k ⇒ A ∩ B ∈ E k .
• Für A, B ∈ E k mit A ⊆ B ist A \ B = ∑ n
j=1 A j mit A 1 , . . . , A n ∈ E k .
Ein Mengensystem mit diesen beiden Eigenschaften heißt Halbring.
Definition: Die Borelsche σ-Algebra ist B k = σ(E k ).
Faustregel: Alle Teilmengen, die im Mathematikstudium auftreten, liegen in
B k (bis auf die oben definierte Menge E) 4 .
2.4 Das Lebeguesche Maß
Ziel: Teilmengen des R k einen Inhalt, d.h. Längen/Flächen/. . . zuzuordnen.
Der Hauptsatz der Maßtheorie lautet:
Satz: Es existiert genau ein Maß λ k : B k → [0, ∞] mit
λ k ((a, b]) =
k∏
(b i − a i ) ∀ (a, b] ∈ E k
i=1
D.h. für jedes Intervall I ist λ k (I) der Inhalt des Intervalls.
4 und bis auf Prof. Spinas’ „Axiomatische Mengenlehre“
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