Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

h(K) ∈ K für alle K ∈ K. Sei E = {h(K) | K ∈ K}. 2 Es wird nachgewiesen:
Die Menge { r + E | r ∈ Q k} ist eine Partition von R k :
1. Die Menge bildet eine Zerlegung:
⋃
(r + E) = ⋃ ⋃
r∈Q k r∈Q k
⋃
+ e} =
e∈E{r ⋃ {r + e} = ⋃
e∈E r∈Q k e∈E
[e] = R k
2. Die Zerlegung ist disjunkt: Seien r, r ′ ∈ Q k mit r ≠ r ′ . Zu zeigen:
r + E ∩ r ′ + E = ∅. Annahme: r + E ∩ r ′ + E ≠ ∅. Dann existieren
x, x ′ ∈ E mit r + x = r ′ + x ′ mit x ≠ x ′ . Damit ist x − x ′ = r ′ − r ∈ Q k ,
also x ∼ x ′ , damit können aber x und x ′ nicht beide in E liegen,
Widerspruch!
Damit wurde eine Menge E ⊂ R k gefunden mit R k = ∑ r∈Q k (r + E). Die
geforderten Eigenschaften von µ liefern: 3
⎛
0 < µ(R k ) = µ ⎝ ∑ (r + E)
r∈Q k
⎞
⎠ (⋆)
= ∑ r∈Q k µ(r + E) = ∑ r∈Q k µ(E)
Somit ist µ(E) > 0. Sei Q := Q k ∩ [0, 1] k . Dann ist ∑ r∈Q
(r + E) ⊆ [0, 2]k
und damit
∞ > µ ( ( )
∑
[0, 2] k) ≥ µ (r + E) = ∑ µ (r + E) = ∑ µ(E) = ∞
r∈Q
r∈Q
r∈Q
Widerspruch! Also existiert keine solche Abbildung µ.
An dem Problem gearbeitet haben E. Borel (1898) und H. Lebesgue
(1902/1904), wir lernen Borelsche Mengen und das Lebesgue-Integral kennen.
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2.3 Borelsche σ-Algebra
Die Borelsche σ-Algebra wird definiert als die kleinste σ-Algebra, die sämtliche
Intervalle enthält. Elemente der Borelschen σ-Algebra heißen Borelsche
Mengen.
Diese Definition beruht auf folgendem Sachverhalt:
2 „E steht für eklige Menge.“
3 wobei (⋆) durch die Abzählbarkeit von Q k aus den Maßeigenschaften von µ folgt
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