Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

möglichen Ergebnisse Ω, einem System der Ereignisse A 1 und einer Zuordnung
P : A → [0, 1]. Prinzipielles Vorgehen:
Zufallsexperiment (reale Welt) → Wahrscheinlichkeitsraum
Lösung für reales Prob. ↑
↓ Analyse
Ergebnis
Interpretation
← Lösung im Modell
Beispiel: Sie werfen nacheinander eine Münze. Bei jedem Wurf erhalten Sie
mit der Wahrscheinlichkeit p Kopf und mit 1 − p Zahl. Das Zufallsexperiment
ist die Anzahl an Würfen bis das erste Mal Zahl fällt.
Setze ω n = (1, . . . , 1, 0), d.h. ω n,i = 1 bedeutet Kopf beim i-ten Wurf, ω n,i =
0 Zahl. Dann ist Ω = {ω n | n ∈ N} und |Ω| = |N| sowie A = P(Ω). P
wird nun definiert durch P ({ω n }) = p n−1 (1 − p). Somit ist für A ⊆ Ω die
Wahrscheinlichkeit P (A) := ∑ ω∈A P ({ω}) und P (Ω) = ∑ n∈N pn−1 (1−p) = 1.
Für A := {ω 2k | k ∈ N} und B := {ω 2k−1 | k ∈ N} ist
P (A) =
∞∑
∞∑
p 2k−1 (1 − p) = p p (2k−1)−1 (1 − p) = p · P (B)
k=1
k=1
Mit P (A) + P (B) = 1 folgt P (B) = 1
1+p .
2.2 Nicht-Existenz einer Flächenfunktion für R k
Satz: Es existiert keine Abbildung µ : P(R k ) → [0, ∞] mit den Eigenschaften
1. µ ist Maß,
2. µ ist translationsinvariant (d.h. µ(A) = µ(x + A) wobei x + A =
{x + y | y ∈ A}),
3. falls A beschränkt ist, dann ist µ(A) < ∞,
4. µ(R k ) > 0.
Beweis: Angenommen, ein solches µ würde existieren. Definiere eine Äquivalenzrelation
∼ durch x ∼ y :⇔ x − y ∈ Q k . Sei K die Menge aller Äquivalenzklassen.
Das Auswahlaxiom liefert eine Abbildung h : K → [0, 1] k mit
1 Die Einführung einer σ-Algebra aller Teilmengen des Ergebnisraums, denen Wahrscheinlichkeiten
zugeordnet werden, ist nur bei überabzählbaren Ergebnisräumen wirklich
notwendig.
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