Stochastik 1 - Mitschriften von Klaas Ole Kürtz

Definition: Ein System A von Teilmengen von Ω heißt σ-Algebra, falls:
1. Ω ∈ A
2. A ∈ A ⇒ A c ∈ A
3. A i ∈ A ∀ i ∈ I ⇒ ⋃ i∈I A i ∈ A für alle abzahälbaren Indexmengen I
Dabei heißt (Ω, A) meßbarer Raum.
Sei Ω = N, ist A eine σ-Algebra mit E ⊂ A, so folgt A = P(Ω). Eine naheliegende
Forderung an die Wahrscheinlichkeitszuordnung ist die Additivität,
d.h. P (A + B) = P (A) + P (B) für disjunkte Ereignisse A, B.
Definition: Sei A eine Mengenalgebra auf Ω. Eine Funktion µ : A →
[0, ∞] heißt Inhalt, falls gilt:
1. µ(∅) = 0
2. µ(A + B) = µ(A) + µ(B) für disjunkte A, B ∈ A
Durch Induktion erhält man die endliche Additivität µ(A 1 + . . . + A n ) =
∑ n
i=1 µ(A i) für disjunkte A 1 , . . . , A n . Dies ist nicht ausreichend, um Wahrscheinlichkeitstheorie
sinnvoll zu betreiben, man benötigt eine Konsistenz
bezüglich der abzählbaren Vereinigungsbildung.
Definition: Sei (Ω, A) ein meßbarer Raum. Eine Abbildung µ : A → [0, ∞]
heißt Maß, falls gilt:
1. µ(∅) = 0
2. µ( ∑ i∈I A i) = ∑ i∈I µ(A i) für abzählbare Familien (A i ) i∈I von paarweise
disjunkten Ereignissen.
Gilt µ(Ω) < ∞, so spricht man von einem endlichen Maß. Für µ(Ω) = +∞
liegt ein unendliches Maß vor. Ist µ(Ω) = 1, so spricht man von einem
Wahrscheinlichkeitsmaß und bezeichnet es oft als P . Das Tripel (Ω, A, P )
heißt dann Wahrscheinlichkeitsraum
2.1 Axiomatik von Kolmogorov
Ein Zufallsexperiment wird beschrieben in einem mathematischen Modell
durch einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) mit der Menge der potentiell
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